[wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

ntstudent

Hallo,

ik probeer een functie te integreren door substitutie, maar er gaat iets fout. Kunt u mij misschien vertellen wat ik fout doe? Hieronder staat mijn uiterwerking:

$\int{e^{\sqrt{x}} \cdot dx$

$\int{e^{x^{\frac{1}{2}}}} \cdot dx$

$y(x) = x^{\frac{1}{2}}$

$y'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

$dy = y'(x) \cdot dx$

$dy = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx$

$\frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot dy = dx$

$\int{e^{y}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot dy$

$\frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot \int{e^{y}} \cdot dy$

en aangezien:

$\int{e^y}\cdot dy = e^y$

oftewel,

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$

dus:

$\int{e^{\sqrt{x}} \cdot dx = e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}$

Volgens mij klopt het niet, maar het kan ook zijn dat ik iets verkeerd deed bij het controleren ervan. Bedankt voor uw geduld en tijd om het na te kijken.

Met vriendelijke groetjes ntstudent

PS: ik zou ook alle mensen willen bedanken die mij vroeger hadden geholpen met variabele substitutie. Nu snap ik het =).

Burgie

De fout zit hem in deze stap:

$\frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot \int{e^{y}} \cdot dy$

Je schreef net een uitdrukking op die aangeeft dat er een zekere afhankelijkheid bestaat tussen variabelen x en y. Je voert een substitutie uit met de bedoeling naar y te integreren ipv naar x. Door de x buiten de integraal te plaatsen, plaats je eigenlijk iets buiten de integraal wat afhankelijk is van y. Dit mag niet zomaar, je moet x dan ook in functie van y schrijven als je verder wilt gaan met jouw methode.

Phys

Nu snap ik het =).

Niet flauw bedoeld, maar uit dit voorbeeld blijkt dat je het nog niet helemaal snapt

Ik wil even een makkelijkere notatie gebruiken:

$y=\sqrt{x}\to dy=y'(x)dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\to dx=2\sqrt{x} dy$

Dus

$\int e^{\sqrt{x}}dx$

gaat over in

$\int e^y(2\sqrt{x} dy)$

Wat jij nu doet, is die wortel x vóor de integraal halen, alsof deze constant zou zijn. Dat mag niet!! y hangt namelijk juist van x af, door je substitutie. Er mag geen x meer voorkomen in je integraal nadat je de substitutie gedaan hebt!

Kijk nog eens naar

$dx=2\sqrt{x} dy$

. Je wilt hier geen x meer in voor laten komen (behalve de dx). Je wilt de sqrt(x) dus omschrijven naar iets met y. Dat is heel gemakkelijk:

$y=\sqrt{x}$

dus

$dx=2ydy$

Dus de integraal wordt

$\int e^y(2\sqrt{x} dy)=2\int ye^y dy$

ametim

De volgende stap mag niet je doen

$\int{e^{y}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot dy$

$\frac{1}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \cdot \int{e^{y}} \cdot dy$

want, x hangt nog steeds af van y.

Als je de volgende substitutie doet

$ \sqrt{x}=y \Rightarrow x = y^{2} \Rightarrow dx = 2ydy$

en dan partiële integratie, moet je eruit kunnen komen.

(enigsinds achterhaald)

ntstudent

Oh, okay ik probeer het wel even anders.

Edit: Okay het werkt! Geniaal nu snap ik het volkomen!

(totdat ik weer met een fout aankom

)

PS: maar ik mag wel dus zeggen

$x = y^2$

, en dan van die

$y^2$

de afgeleide nemen en dat weer gelijkstellen aan

$ y'(x)dx = dy$

?

TD

Nee, je mag zo'n variabele niet buiten de integraal brengen!

Safe

ntstudent schreef:Oh, okay ik probeer het wel even anders.

Edit: Okay het werkt! Geniaal nu snap ik het volkomen! (totdat ik weer met een fout aankom )

PS: maar ik mag wel dus zeggen

$x = y^2$
, en dan van die
$y^2$
de afgeleide nemen en dat weer gelijkstellen aan
$ y'(x)dx = dy$
?

$x = y^2$

dus:

$ dx =2ydy$

Wat wordt nu je integraal met de variabele y?

ntstudent

dan heb ik de integraal als volgt toch:

$\int{e^{y} \cdot 2y \cdot dy$

?

Een vraag, ik was tot het volgende gekomen:

$ \sqrt{x} dx = 2 dy$

, maar ik snap nog steeds niet echt hoe u hem weg kunt werken. Als ik het goed begrijp doet u:

$ \sqrt{x} = y$

,

$ x = y^2$

, maar voert u deze gewoon in als:

$y^2 dx = 2 dy$

?

Phys

Het is veel makkelijker dan je denkt.

Ik citeer jou:

ntstudent schreef:
$y(x) = x^{\frac{1}{2}}$
(...)

$dy = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx$

Hieruit volgt direct

$dx=2x^{\frac{1}{2}}dy$

, akkoord?

Nu wil je geen x meer laten voorkomen in je uitdrukking voor dx. Je wilt dus op de een of andere manier je definitie van y(x) gebruiken om dingen met x-en te vervangen door dingen met y-en. Je definieerde zojuist

$y(x) = x^{\frac{1}{2}}$

. Hieruit volgt direct dat

$2x^{\frac{1}{2}}dy$

te schrijven is als

$2ydy$

, toch?

Conclusie:

$dx=2x^{\frac{1}{2}}dy=2ydy$

ntstudent

:$, das inderdaad veel makkelijker dan ik dacht.

Een kleine vraag, wat als ik een vergelijking had en daaruit kwam ook zoiets, alleen dan was het niet te vervangen met y, hoe moet je dan zoiets oplossen? (wat u Phys net deed)?

Phys

Ok, dan kun je nu de integraal

$2\int ye^ydy$

oplossen. Dat kan met partiële integratie, al is het mogelijk dat je 'direct' de primitieve weet ('gokken'). Ik neem aan dat je partiële integratie al gezien hebt?

ntstudent

Ja die ken ik, ik wil hem wel even doen, als u even wacht met posten =).

$ \int ye^{y} dy$

neem

$ f(y) = y$

dus,

$ f'(y) = 1$

.

neem

$ g'(y) = e^{y}$

dus,

$g(x) = e^{x}$

vul in de formule, we krijgen dan:

$2 \cdot (ye^{y} - \int{1 \cdot e^{y} dy})$

integraal van

$\int{ e^{y} dy} = e^{y} + C$

dus krijgen we uiteindelijk:

$2 ((x^{\frac{1}{2}} - 1)e^{\sqrt{x}}) $

Phys

Helemaal goed, op een kleinigheid na: je vergeet de constante C in te voegen in je uiteindelijke antwoord

$2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C_1$

ntstudent

Bedankt! =)

ander vraagje:

Een kleine vraag, wat als ik een vergelijking had en daaruit kwam ook zoiets, alleen dan was het niet te vervangen met y, hoe moet je dan zoiets oplossen? (wat Phys net deed)?

Phys

Een kleine vraag, wat als ik een vergelijking had en daaruit kwam ook zoiets, alleen dan was het niet te vervangen met y, hoe moet je dan zoiets oplossen? (wat u Phys net deed)?

Het zal in principe altijd te vervangen zijn door y (want je kunt y(x) in principe altijd inverteren om x(y) te vinden), alleen krijg je soms niet een fraaie uitdrukking, waardoor je niet geholpen bent met de gekozen substitutie.

Voorbeeld:

$\int\sqrt{x^2+1}dx$

. Stel je doet de substitutie

$y=\sqrt{x^2+1}$

, dan

$dy=\frac{1}{2y}2xdx=\frac{x}{y}dx\to dx=\frac{y}{x}dy$

(reken na!)

Je hebt nu weer een x staan, die je wilt omschrijven in iets met y. Het kan wel, maar het maakt het er niet erg beter op:

$y=\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow y^2=x^2+1\to x=\sqrt{y^2-1}$

(of de negatieve wortel).

Dit invullen levert

$dx=\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}dy$

dus de integraal gaat over in

$\int ydx=\frac{y^2}{\sqrt{y^2-1}}dy$

En daar wordt je niet veel blijer van. Het is wel correct, maar het is niet bruikbaar. Dus in principe kun je het 'vervangen met y' altijd doen, maar je integraal wordt er niet altijd makkelijker door. Dit geeft aan dat je een handige substitutie moet kiezen, en dat is een kwestie van veel oefenen en proberen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

[wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))

Re: [wiskunde] integreren door substitutie (e^(x^(0.5)))