E-machten van matrices

wiskunde88

In deze opgave willen we e-machten van matrices berekenen. Om dit te doen moeten we eerst definieren wat een e-macht van een matrix is. Laat nu A een n × n-matrix zijn, in analogie met de Taylorreeks definieren we

e^A = (som van k=0 tot oneindig) 1/k! * A^k

a) Bereken voor een n × n diagonaalmatrix A zijn e-macht en schrijf deze als 1 matrix

b) Toon aan dat e^(CAC^-1) = C*(e^A)*C^-1

c) Bereken e^A (Hint: Breng A op diagonaalgedaante en gebruik onderdeel b)

met A:

-1 4 -2

-3 4 0

-3 1 3

Iemand een idee hoe je dit moet aanpakken?

Phys

a) Bereken voor een n × n diagonaalmatrix A zijn e-macht en schrijf deze als 1 matrix

In de definitie van de e-macht van een matrix komt de macht van die matrix voor. Wat weet je over de macht van een diagonaalmatrix?

wiskunde88

A^n bij diagonaalmatrix wordt

a11^n 0 0

0 a22^n 0

0 0 a33^n

TD

Dus wat geeft dat voor de e-macht van een diagonaalmatrix...? Probeer een stap verder te denken.

wiskunde88

e^a11 1 1

1 e^a22 1

1 1 e^a33

Zoiets?

. ik heb geen idee eigenlijk

TD

Geen idee? Omdat je gokt en niet de tijd neemt om zelf met pen en papier eens wat te proberen...?

\(e^A = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{A^k }}{{k!}}} = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{k!}}\left( {\begin{array}{*{20}c} a \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & b \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & \ddots \hfill \\\end{array}} \right)^k } \right)} = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{a^k }}{{k!}}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & {\frac{{b^k }}{{k!}}} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & \ddots \hfill \\\end{array}} \right)} = \ldots\)

wiskunde88

Ja, ik volg het zo wel allemaal. Maar wat ik vervolgens zou moeten doen..

Je kan hem nu uitschrijven maar dat is niet echt de bedoeling denk ik.

Voor die term linksboven in de matrix krijg je dan 1, a, a^2/2!, a^3/3! enz Zo voor de hele diagonaal. Maar daar zit geen e-macht in:P

TD

Nu staat er een som van matrices, maar die kan je samennemen tot een matrix (als je weet hoe de optelling voor matrices werkt). Begin dat toch eens uit te schrijven, maar kijk goed wat er gebeurt. Concentreer je bijvoorbeeld op het eerste diagonaalelement, wat komt daar te staan als je de matrices allemaal optelt?

In plaats van uitschrijven, kan je ook symbolisch verder werken. Opnieuw, als je weet hoe de optelling voor matrices werkt, wat gebeurt er dan met de sommatie die nu buiten de matrix staat? Als je dit 'inziet', doe het dan zo. Indien niet, schrijf het dan toch eens (een stukje) uit zodat je ziet wat er gebeurt.

wiskunde88

Die 1e term is gelijk aan e^a als je hem uitschrijft en optelt

TD

Inderdaad, en dus de tweede diagonaalterm? En algemeen? Dus hoe ziet de hele matrix eruit?

wiskunde88

2e is dan e^b 3e e^c

ik snap niet hoe je dit dan kunt generaliseren

TD

Het is toch duidelijk dat je gewoon de e-macht van elk diagonaalelement moet nemen...? Verder symbolisch:

\(\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{a^k }}{{k!}}} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & {\frac{{b^k }}{{k!}}} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & \ddots \hfill \\\end{array}} \right)} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{a^k }}{{k!}}} } \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{b^k }}{{k!}}} } \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & \ddots \hfill \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {e^a } \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & {e^b } \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & \ddots \hfill \\\end{array}} \right)\)

wiskunde88

Ja dat zei ik toch:P. Maar dat is dan dus al de matrix?

TD

Ja toch.... Kijk eens naar het begin (linkerlid) van m'n uitwerking, dat was e^A.

Let wel, dit geldt alleen als A een diagonaalmatrix is! Dit is nog steeds deel a) dus...

wiskunde88

Oke, dat was a dan. Snap ik wel.

Bij b dan.

Voor die c te krijgen moet je toch de eigenwaarden en eigenvectoren uitrekenen. Maar hoe zou dat hier moeten?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

E-machten van matrices

E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices

Re: E-machten van matrices