[wiskunde] continuïteit van de functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 577

[wiskunde] continu

Hallo,

ik vroeg me af of de volgende functie continu is:
\([0,1] \cup [3,4] \to \mathbb{R} :\)
\( \mbox{als } z>2 : 5z \)
\( \mbox{anders } : z^{3} \)
(sorry voor het slordige Latex gebruik, maar ik heb geen idee hoe ik het netjes kan doen :D .)

Ik dacht dat deze functie wel continu is, omdat het probleemgebied {2} niet werd ingevoerd. Maar misschien kunnen jullie mij wel even uitleggen of dit goed is of fout?

Bedankt!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] continu

Deze functie is inderdaad continu op het hele domein; op elk van de gesloten deelintervallen van het domein van deze functie, is de functie immers continu.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] continu

Okay, dan heb ik dit goed begrepen. Bedankt!
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] continu

Maar anders ("probleempunt in domein") was het nog niet noodzakelijk een probleem...

Laten we eens kijken naar f,g:[0,2]U[4,5] naar :D met als voorschriften:

f(x) = x als x<1 en x²+2 elders,

g(x) = x als x<1 en x² elders.

Is f continu? En g?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] continu

Beide functies zijn continu volgens mij.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] continu

Kun je dat onderbouwen (al is het maar in woorden, wat je tot deze gedachten heeft doen komen)?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] continu

Beide functies zijn continu volgens mij.
Wat zijn hier de (mogelijke) "probleempunten" en wat gebeurt er daar? Maak een grafiek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] continu

Laten we eens kijken naar f,g:[0,2]U[4,5] naar met als voorschriften:

f(x) = x als x<1 en x²+2 elders,

g(x) = x als x<1 en x² elders.
"probleempunt" = 1, maar u zegt als
\(f(x) = x\)
als
\(x<1\)
en
\(f(x)= x^2 + 2\)
als
\(x \leq 1\)
. Maar op zich is dat niet echt een probleem omdat je voor alle getallen in het domein een waarde hebt.

Ik snap trouwens niet hoe u zo'n mooi grafiek had kunnen maken met een puntje etc. (bij limieten)

(bij die g(x) idem)
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] continu

"probleempunt" = 1, maar u zegt als
\(f(x) = x\)
als
\(x<1\)
en
\(f(x)= x^2 + 2\)
als
\(x \leq 1\)
.
Je bedoelt zeker
\(f(x)= x^2 + 2\)
als
\(x \geq 1\)
.
Maar op zich is dat niet echt een probleem omdat je voor alle getallen in het domein een waarde hebt.
Dat garandeert geen continuiteit. Maak een tekening en kijk wat er bij x=1 gebeurt.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] continu

Ik snap trouwens niet hoe u zo'n mooi grafiek had kunnen maken met een puntje etc. (bij limieten)
Ik bedoelde gewoon op papier hoor, een schets volstaat.

Wat betekent "continuïteit" volgens jou (intuïtief, in eigen woorden)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] continu

Dat de grafiek in 1 rechte lijn doorloopt zonder onderbrekingen in een punt.
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] continu

Waarschijnlijk bedoel je het goed, maar de lijn hoeft natuurlijk niet 'recht' te zijn :D Populair gezegd: "je kunt de grafiek van een continue functie tekenen zonder je pen van het papier te halen".

Maar goed, kijk nog eens naar het punt x=1 voor de functie f in het laatse voorbeeld van TD. Schets deze functie eens in de buurt van x=1.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] continu

Dat de grafiek in 1 rechte lijn doorloopt zonder onderbrekingen in een punt.
Je gaat hier natuurlijk wel een onderbreking krijgen, omdat het domein bestaan uit verschillende (niet-aaneengesloten) intervallen. Maar die onderbreking is "niet erg", voor continuïteit moet je inderdaad een doorlopende grafiek hebben op het domein.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 577

Re: [wiskunde] continu

Ah ik zie het, in punt 1 heeft het zeg maar een onderbreking. (grafiek van f(x))
To invent something you need to see what everyone sees, do what everybody does and think that nobody has though of.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] continu

Juist. Dus is f discontinu in x=1. Zie je nu waarom je eerdere antwoord fout is?
"probleempunt" = 1, maar u zegt als
\(f(x) = x\)
als
\(x<1\)
en
\(f(x)= x^2 + 2\)
als
\(x \leq 1\)
. Maar op zich is dat niet echt een probleem omdat je voor alle getallen in het domein een waarde hebt.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer