Ik staar me al een tijdje blind op de volgende oefening:
\( $\lim_{x\to\--1}4-x^2=3$ \)
is te bewijzen aan de hand van de definitie van een limiet. Ik ben dus op zoek naar \( \delta \)
.Ik probeer dit als volgt op te lossen:
-
\(\forall x : 0 < |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow | f(x) - L | < \epsilon\)
moet gelden, met \(\epsilon=0.25\)
.- Stap 1:
\(|4-x^2-3|<0.25\)
\(\Leftrightarrow -0.25 < 1-x^2 < 0.25\)
\(\Leftrightarrow -1.25 < -x^2 < -0.75\)
\(\Leftrightarrow 1.25 > x^2 > 0.75\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{1.25} > x > \sqrt{0.75}\)
- Stap 2:\(0 < |x+1| < \delta\)
\(\Leftrightarrow -\delta < x+1 < \delta\)
\(\Leftrightarrow -1-\delta < x < -1+\delta\)
- Stap 3:\(-1-\delta = \sqrt{0.75} \Leftrightarrow \delta = -\sqrt{0.75}-1\)
of\(-1+\delta = \sqrt{1.25} \Leftrightarrow \delta = \sqrt{1.25}+1\)
Waarvan de kleinste \(\delta\)
de oplossing zou moeten zijn, maar dit klopt dus niet...Ik denk dat de fout ergens in mijn ongelijkheden zit, maar heb geen idee hoe het op te lossen.
Elk advies is welkom, alvast bedankt.
Groeten
