ik kom niet uit de volgende integraal. Hij is nogal groot... bij mij omdat ik zo'n 3x substitutie heb toegepast. Ik kan op dit moment de fout niet vinden.
\(\int{ \sqrt{1-3t^{2}} } dt \)
Hier begin ik de substitutie met: \(\sqrt{3}t = y\)
, \(\sqrt{3} = y'\)
, \(\sqrt{3} dt = dy\)
, \(dt = \frac{1}{\sqrt{3}} dy\)
.\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{\sqrt{1-y^{2}} dy\)
Nu begin ik met substitutie van: \(y = \sin{(z)}\)
, \(arcsin(y) = z\)
, \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} = z'\)
, \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = dz \)
, \(dy = \sqrt{1-\sin{(z)}^2} dz\)
.\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{ \sqrt{1-\sin{(z)}^2} \cdot \sqrt{1-\sin{(z)}^2}} dz\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{ 1-\sin{(z)}^2}dz \)
Herschrijf ik het nu:\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{ \cos{(z)}^{2}} dz\)
Ik herschijf alweer:\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{(2z)} dz\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} \int{ \frac{1}{2}} dz + \frac{1}{2}\int{\cos{(2z)}} dz\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{2}z + \frac{1}{2} \int{\cos{(2z)}} dz\)
Nu substitueer ik: \( 2z = p\)
, \(2 = p'\)
, \(2 dz = dp\)
, \( dz = \frac{1}{2} dp\)
.\(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}z + \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{4} \int{\cos{(p)}} dp\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}} z + \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{4} \sin{(p)} + C\)
Terug invullen:\(\frac{1}{2\sqrt{3}} z + \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{4} \sin{(2z)} + C\)
Gebruikmaken van \(\sin{(2A)} = 2\sin{(A)}\cos{(A)}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}} z + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \cos{(z)} \sin{(z)} + C\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot arcsin(y) + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \cos{(arcsin(y))} \cdot y + C\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot arcsin(\sqrt{3} \cdot t) + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \cos{(arcsin(\sqrt{3} \cdot t ))} \cdot \sqrt{3} \cdot t + C\)
Dit kan nooit goed zijn... ik heb ergens een fout gemaakt, maar ik weet niet waar 
.PS: als iemand een snellere methode heeft waardoor ik minder stappen hoeft te doen, dan zou ik het graag willen horen =)
