Het houdt me wel bezig zeg. Intrigerende opgave. Aanzet tot een fix van mijn vorige bewijs:
g(t) is continu op [0,1], dus voor alle t,t
0 in [0,1] geldt:
\(\forall \eta>0\)
is er een
\(\delta>0\)
zodat
\(0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow |g(t)-g(t_0)|<\eta\)
Specifiek in het punt t
0=0:
\(\forall \eta>0\)
is er een
\(\delta>0\)
zodat
\(0<|t|<\delta\Rightarrow |g(t)|<\eta\)
Het idee is dus als volgt: voor uniforme convergentie naar de functie 0, willen we voor alle t tegelijk dat voor iedere e>0,
\(f_n(t)\)
onder de lijn y=f+e=e en boven y=f-e=-e krijgen, door maar ver genoeg in de rij
\(f_n(t)\)
te kijken. Amateuristisch plaatje:
- unif.JPG (9.9 KiB) 337 keer bekeken
In de buurt van t=0 zorgt het feit dat g(0)=0 én dat g(t) continu is in 0, dat
\(f_n(t)\)
willekeurig klein gemaakt wordt, door t maar dicht genoeg bij 0 te kiezen. Voor t uit de buurt van 0, zorgt |1-t|^n er op zijn beurt voor dat
\(f_n(t)\)
klein gemaakt kan worden, namelijk door n maar groot genoeg te kiezen. Deze twee moeten we zien te combineren.
Zij
\(\epsilon>0\)
willekeurig. Drie intervallen:
1) Zoals gezegd werkt voor t=0 iedere N.
2) Zij nu
\(0<|t|<\delta\)
. Dan geeft zoals gezegd continuïteit van g in 0 dat geldt
\(|g(t)|<\eta\)
, waarbij
\(\delta\)
afhangt van
\(\eta\)
. Verder geldt dan dat
\(|1-t|<1+\delta\)
Samen:
\(|f_n(t)|=|g(t)||1-t|^n<\eta(1+\delta)^n\)
. Kies nu
\(N_1>\log_{1+\delta}\left(\frac{\epsilon}{\eta}\right)\)
3) Zij nu
\(t\in [\delta,1]\)
, dan
\(|1-t|\leq 1-\delta\)
, en noem
\(M:=\mbox{max\limits_{t\in [\delta,1]}}g(t)\)
.
Dan geldt
\(|f_n(t)|=|g(t)||1-t|^n\leq M(1-\delta)^n\)
. Kies nu
\(N_2>\log_{1-\delta}\left(\frac{\epsilon}{M}\right)\)
Dus
\(N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}\)
werkt voor alle t tegelijk.
\(\delta\)
hangt weliswaar af van
\(\eta\)
, maar niet van t, en daar gaat het om. Dus N_1, N_2, en derhalve N, hangen volgens mij niet van t af.
De enige twijfel die ik nu nog heb, is het opsplitsen van het interval in drie gebieden. Daardoor hangt t wel enigszins af van delta. En misschien kun je het dan weer omdraaien zodat delta van t afhangt. Je kunt eta kiezen, waardoor delta vastligt, waardoor t vastligt. Maar N hangt weer af van eta. Confusing. Schept iemand helderheid?
Ik heb het vermoeden dat ik nogal ingewikkeld bezig ben, maar goed. Ik hoor het wel wat men hierop aan te merken heeft.
Ik ga dit trouwens even verplaatsen naar Wiskunde.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
