Onderzoek het convergentiegedrag van de volgende reeksen met behulp van stellingen:
(...)
2)
\(\frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49} + \cdots + \frac{1}{(n+4)^2} + \cdots\)
[/i]De stellingen die gebruikt mogen worden in deze oefeningen zijn de volgende:
- Het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beïnvloed als men een eindig aantal termen toevoegt of weglaat;
- Het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beïnvloed als men elke term ervan vermenigvuldigt met eenzelfde van nul verschillende factor;
- Als men de overeenkomstige termen van twee convergente reeksen optelt dan vindt men de termen van een derde reeks die ook convergeert;
- Een reeks met algemene term \(u_n\)divergeert als\(\lim_{n \to + \infty} u_n \neq 0\).
De tweede stelling lijkt onbruikbaar aangezien er geen constante factor is die in elke term terugkomt.
De derde stelling lijkt onbruikbaar aangezien ik in deze reeks geen bekende (convergente) reeksen kan terugvinden.
De laatste stelling is onbruikbaar aangezien de limiet wel gelijk is aan nul.
De eerste stelling dus.
Het is vrij gemakkelijk om te zien dat deze reeks inderdaad ontstaat door de eerste vier termen weg te laten uit een andere reeks, nl.
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)
. Dit is een zgn. hyperharmonische reeks: een reeks van de vorm \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)
. Die p is hier 2 en ik weet dat als \(p > 1\)
, de reeks convergeert. Officieel ben ik echter nog niet bekend met hyperharmonische reeksen, dus ik mag mijn voorkennis niet gebruiken (als wat ik zeg al juist is). Het moet dus op een andere manier gaan, maar ik zie niet hoe. Wat zie ik over het hoofd?Alvast bedankt.
