[mechanica] kinematica

Scofield

Hallo,

Ik zit vast met een afleiding... De afleiding is een meetkundige constructie van een ellips met de oorsprong in een van de brandpunten ifv van de straal.

Je krijgt volgende parametervgl:

x=c+r*cos(theta)

y=r*sin(theta)

Je moet dit substitueren in x²/a² + y²/b² = 1

en rekening houdend met c²=a²-b² , zou je r = (b²/a)/(1+c/a*cos(theta)) moeten uitkomen.

Ik ben eraan begonnen

dus substitutie uitgevoerd:

(c+r*cos(theta))²/a² + (r*sin(theta))²/b² = 1

<-> ( c²+2*c*r*cos(theta)+r²*cos²(theta)) /a² + r²*sin²(theta)/b² = 1

op gelijke noemer brengen:

<-> (b²*c²+2*b²*c*r*cos(theta)+b²*r²*cos²(theta) + a²*r²*sin²(theta)) /a²*b² = 1

<-> (b²*c²+2*b²*c*r*cos(theta)+b²*r²*cos²(theta) + a²*r²*sin²(theta)) = a²*b²

hier (c²=a²-b²) gebruiken om te kunnen schrappen

<-> (b²*c²+2*b²*c*r*cos(theta)+(a²-c²)*r²*cos²(theta) + a²*r²*sin²(theta)) = a²*b²

<-> (b²*c²+2*b²*c*r*cos(theta)+a²*r²*cos²(theta)-c²*r²*cos²(theta) + a²*r²*sin²(theta)) = a²*b²

<-> (b²*c²+2*b²*c*r*cos(theta)+a²*r²-c²*r²*cos²(theta)) = a²*b²

maar verder dan dit kwam ik niet ...

Ik zie niet in hoe je die r kan afzonderen. Hij staat daar in r en r² dus verder kan ik niet echt komen

Iemand die kan helpen?

Phys

Disclaimer: ik heb je bericht heel slecht gelezen, alleen de laatste regels.

Maar ik zie dat je een vergelijking op wil lossen naar r, terwijl er r en r^2 in voorkomen. Kan dat niet gewoon met de abc-formule?

Scofield

Euhm... Wat is de abc regel??

dirkwb

Hij bedoelt de abc-formule.

Scofield

Ja die kende ik niet onder die vorm. Hij bedoelde dus de "discriminant", maar met die methode geraak ik verder maar krijg ik nog altijd niet het gehoopte antwoord...

Phys

Euhm... Wat is de abc regel??

Hij bedoelt de abc-formule.

Dat bedoelde ik niet alleen, dat schreef ik ook.

Ja die kende ik niet onder die vorm. Hij bedoelde dus de "discriminant"

Hij bedoelde niet de "discriminant", de discriminant is een uitdrukking die gebruikt wordt om een kwadratische vergelijking op te lossen. Hooguit ken je het onder de naam "discriminantmethode".

, maar met die methode geraak ik verder maar krijg ik nog altijd niet het gehoopte antwoord...

Ik kom vooralsnog uit op

\(\frac{a-c\cdot\cos\theta}{a+\frac{c^2}{b^2}\sin^2\theta}\)

zou je r = (b²/a)/(1+c/a*cos(theta)) moeten uitkomen.

Bedoel je hiermee

\(r=\frac{\left(\frac{b^2}{a}\right)}{1+\frac{c}{a}\cos\theta}=\frac{b^2}{a+c\cdot\cos \theta}\)

?

Phys

Na even puzzelen blijkt mijn antwoord gelijk te zijn aan het gevraagde antwoord

Nu is dus de vraag waar jij de fout in gaat (of waar je nog verder kunt vereenvoudigen).

\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)

\(b^2(c^2+r^2\cos^2t+2cr\cos t)+a^2(r^2\sin^2t)=a^2b^2\)

\((b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)r^2+(2cb^2\cos t)r+(b^2c^2-a^2b^2)=0\)

Merk op dat

\((b^2c^2-a^2b^2)=b^2(c^2-a^2)=b^2(-b^2)=-b^4\)

, dus

\((b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)r^2+(2cb^2\cos t)r+(-b^4)=0\)

\(r_{1,2}=\frac{-2cb^2\cos t\pm\sqrt{4c^2b^4\cos^2t+4b^4(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)}}{2(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)}\)

\(r_{1,2}=\frac{-2cb^2\cos t\pm\sqrt{4b^4(c^2\cos^2t+b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)}}{2(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)}\)

4b^4 uit de wortel halen wordt 2b^2:

\(r_{1,2}=\frac{-2cb^2\cos t\pm 2b^2\sqrt{c^2\cos^2t+b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}}{2(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)}\)

2 wegdelen:

\(r_{1,2}=\frac{-cb^2\cos t\pm b^2\sqrt{c^2\cos^2t+b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}}{b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}\)

Gebruik weer c^2=a^2-b^2, zodat

\(\sqrt{c^2\cos^2t+b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2 t+a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2}=a\)

, dus (de positieve wortel nemend):

\(r_1=\frac{-cb^2\cos t+ b^2a}{b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}=\frac{b^2(a-c\cos t)}{b^2\cos^2t+(c^2+b^2)\sin^2t}=\frac{b^2(a-c\cos t)}{b^2+c^2\sin^2t}\)

Volg je dit helemaal? Zo ja, dan kan ik laten zien hoe dit overgaat in het gevraagde antwoord (of beter: je kunt het zelf proberen).

Scofield

Bedankt phys voor het antwoord. Ik kom uit op

(-b²*(c*cos(theta)+a))/(a²-c²*cos²(theta))

Ik denk dat dit equivalent is met jouw antwoord (of niet?)...

Hoe ga je nu over?

Phys

Ik denk dat dit equivalent is met jouw antwoord (of niet?)...

Volgens mij niet, maar ik zou zeggen kijk mijn stappen hierboven nog eens na (heb het niet voor niets uitgeschreven natuurlijk).

Hoe ga je nu over?

We hebben

\(r_1=\frac{b^2(a-c\cos t)}{b^2+c^2\sin^2t}=b^2\left(\frac{1}{\left(\frac{b^2+c^2\sin^2t}{a-c\cdot\cos t}\right)}\right)\)

De noemer kunnen we als volgt vereenvoudigen:

\(\frac{b^2+c^2\sin^2t}{a-c\cdot\cos t}=\frac{(a+c\cos t)(b^2+c^2\sin^2t)}{a^2-c^2\cos^2 t}=(a+c\cos t)\frac{b^2+(a^2-b^2)\sin^2t}{a^2-(a^2-b^2)\cos^2 t}\)

\(=(a+c\cos t)\frac{b^2\cos^2t+a^2\sin^2t}{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}=a+c\cos t\)

Dus uiteindelijk

\(r_1=\frac{b^2(a-c\cos t)}{b^2+c^2\sin^2t}=b^2\left(\frac{1}{\left(\frac{b^2+c^2\sin^2t}{a-c\cdot\cos t}\right)}\right)=\frac{b^2}{a+c\cos t}\)

Scofield

Ok ik zie het. Je bent zeer hartelijk bedankt.

PS mijn uitkomst is equivalent aan de jouwe, hoor. Het is misschien niet zo duidelijk geschreven zonder latex

Groetjes,

Phys

Ok ik zie het. Je bent zeer hartelijk bedankt.

Graag gedaan!

PS mijn uitkomst is equivalent aan de jouwe, hoor. Het is misschien niet zo duidelijk geschreven zonder latex

Oke, het was inderaad wat lastig lezen met de vele haakjes.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[mechanica] kinematica

[mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica

Re: [mechanica] kinematica