Machten en machtswortels

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 14-11-'08, 10:50

wout86

Berichten: 16

Machten en machtswortels

Hallo,

Ik heb een vraagje over machten met rationele exponenten.

Ik heb altijd aangenomen dat
\(\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}\)
.

Nu heb ik gemerkt dat dit niet steeds lukt.

In het boek Wiskundige Basisvaardigheden las ik dat dit geldt voor
\(a>0\)
en
\(m, n \in \mathbb{N}\)
.

Maar ik vind niets terug over waneer dit al dan niet geldt voor
\(a<0\)
.

Als ik de grafiek laat tekenen van de functie
\(y=x^\frac{5}{3}\)
bekom ik verschillende resultaten.

Zo bestaat deze grafiek volgens Maple, Grapher of mijn rekenmachine bijvoorbeeld niet voor
\(x<0\)
, maar volgens andere rekenmachines wel. Intuïtief zou ik aannemen dat deze functie wel degelijk voor x<0 bestaat (m en n zijn oneven).

De functie
\(y=x^\frac{1}{3}\)
 bestaat volgens die software dan weer wel voor
\(x<0\)
.

Weet iemand hoe het nu precies zit met
\(\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}\)
voor
\(a<0\)
en waarom
\(y=x^\frac{1}{3}\)
zogezegd wel bestaat voor
\(x<0\)
? Wat is nu wiskundig correct?

Groeten,

Wouter
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:00

StrangeQuark

Gebruikersavatar
Berichten: 4.161

Re: Machten en machtswortels

Ben je bekend met complexe getallen? Op het moment dat je wortels neemt van een negatief getal krijg je toch een complex getal. Het kan zijn dat de ene software alleen maar reeele waardes wil plotten en de andere daar een oplossing voor vindt.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:12

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Machten en machtswortels

Wiskundig correct lijkt mij dat
\(y=x^{\frac{m}{n}}\)
bestaat (en een reële uitkomst heeft) voor alle
\(x \in \rr\)
als n oneven is.

Dat sommige software dat niet snapt komt door hoe ze dat intern uitrekenen (met een foutieve check "indien negatief grondtal en gebroken exponent, dan bestaat het niet", of ze vallen terug op een complexe oplossing terwijl er ook een reële is).

In Maple kun je de functie die je bedoelt trouwens wel hiermee krijgen: f:=x->abs(x)^(5/3)*sign(x);

Of als m even is: f:=x->(x^m)^(1/n);
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:19

wout86

Berichten: 16

Re: Machten en machtswortels

Ik heb reeds over complexe getallen gelezen, maar hier nog geen gebruik van gemaakt.

Dus als ik het goed begrijp bestaat zo'n functie voor een negatief grondtal als n oneven is en je dit dmv. complexe getallen oplost/plot, maar niet als je dit dmv. reële getallen oplost/plot?

Bedankt voor de verduidelijking.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:24

PeterPan

Re: Machten en machtswortels

Er doet zich het volgende probleem voor:
\(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\)
.

Dus zou moeten gelden:
\((-2)^{\frac{1}{3}} = (-2)^{\frac{2}{6}}\)
.

Nu zou volgens de definitie van Rogier het linker lid wel bestaan en het rechter niet.

Dat is een conflict.

Daarom is voor vele rekentuigen
\(a^{\frac{m}{n}}\)
niet gedefinieerd voor
\(a<0\)
.
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
als
\(ggd(m,n)=1\)
én
\(n\)
oneven.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:51

StrangeQuark

Gebruikersavatar
Berichten: 4.161

Re: Machten en machtswortels

Ik heb reeds over complexe getallen gelezen, maar hier nog geen gebruik van gemaakt.
Het complexe getal: \(i=\sqrt{-1}\), dit moet wel want de wortel van 4 is 2 of -2 (2 keer 2=4 en -2 keer -2 = 4) met de reeele getallen krijg je het niet voor elkaar om een getal te vermenigvuldigen met zichzelf om dan een negatief getal te krijgen. Je krijgt dan samengestelde getallen zoals je ook met wortels kan hebben: \(5+\sqrt{3}\) zoiets krijg je dan ook qua regels met complexe getallen, hier heb je altijd een reeel gedeelte en een complex gedeelte: \(5+3i\)

De wortel van bijvoorbeeld -16 kan je dan als volgt berekenen:

\(\sqrt{-16}=\sqrt{-1}\sqrt{16}=i\sqrt{16}=i\cdot4=4i\)
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 11:58

PeterPan

Re: Machten en machtswortels

Nog even ter verduidelijking:
\((-2)^\frac{1}{5}\)
bestaat, maar
\((-2)^{0,2}\)
bestaat niet, want dit is
\((-2)^{\frac{2}{10}}\)
.

In Maple worden breuken vereenvoudigd. Dat zou betekenen dat wat eigenlijk niet bestaat ineens wel bestaat. Dat wil men in Maple voorkomen.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 12:05

StrangeQuark

Gebruikersavatar
Berichten: 4.161

Re: Machten en machtswortels

Begrijp ik het goed, dat het fout gaat omdat je eerst het m gedeelte uitvoerd (eventueel kwadrateren bij 2/6 of tot de eerste macht doen bij 1/3) en dan het n gedeelte (de zoveelste macht wortel?). Hoe is dit netjes goed te praten? Wat zijn de regels hierover, moet je dus altijd eerst het wortel gedeelte doen en dan eventueel tot een macht verheffen?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 12:11

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Machten en machtswortels

In bijzondere gevallen is het inderdaad mogelijk om rationale exponenten van negatieve grondtallen te definiëren, omdat negatieve getallen wel oneven machtswortels hebben maar geen even machtswortels (in :D ).

Men maakt doorgaans de keuze om dit niet voor negatieve grondtallen te definiëren omdat er dan vervelende zaken optreden, zoals rekenregels die niet altijd meer gelden - hetgeen PeterPan al aanhaalde.

Wat je voorbeeld x1/3 betreft, die functie kan inderdaad bestaan voor x<0 maar je ziet terecht een conflict met de definitie van rationale exponenten zoals die meestal gegeven wordt. Je kan de functie misschien beter
\(\sqrt[3]{x}\)
te noteren, de derdemachtswortel bestaat immers voor elke x. Zo vermijd je het probleem met de definitie van rationale exponenten als die enkel voor positieve grondtallen gegeven is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 12:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Machten en machtswortels

Wat zijn de regels hierover, moet je dus altijd eerst het wortel gedeelte doen en dan eventueel tot een macht verheffen?
Voor positieve grondtallen maakt de volgorde niet uit, dat maakt de eigenschap (of in dit geval: definitie!) zo interessant:
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a^m }} = \left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m \quad a>0\)
Als je echter naar negatieve grondtallen gaat, krijg je zaken zoals:
\(\left( { - 8} \right)^{\frac{4}{6}} = \sqrt[6]{{\left( { - 8} \right)^4 }} = \sqrt[6]{{8^4}} = 4\quad \mbox{maar} \quad\left( { - 8} \right)^{\frac{4}{6}} = \left( {\sqrt[6]{{ - 8}}} \right)^4 = ???\)
Als je afspreekt de breuk te vereenvoudigen (ggd(n,m) = 1) en n is oneven, dan werkt het wel nog:
\(\left( { - 8} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{\left( { - 8} \right)^2 }} = \sqrt[3]{{64}} =4 \quad \mbox{en} \quad\left( { - 8} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( {\sqrt[3]{{ - 8}}} \right)^2 = \left(-2\right)^2 = 4\)
Je kan de definitie die meestal enkel voor a>0 gegeven wordt dus uitbreiden naar negatieve grondtallen, maar met extra voorwaarden op de rationale exponent. Gewoonlijk doet men dat liever niet (men beperkt dus het grondtal zodat de eigenschappen/rekenregels algemeen gelden), vandaar vaak de definitie enkel voor a>0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 12:26

StrangeQuark

Gebruikersavatar
Berichten: 4.161

Re: Machten en machtswortels

Dankjewel, ik wist uiteraard de regels voor het positieve grontal wel en was eigenlijk nog nooit een negatief getal tegengekomen tot een bepaalde rationale exponent. Zelfs in complexe functie theorie was ik het niet tegengekomen. :D
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
Omhoog

Bericht 14-11-'08, 12:52

wout86

Berichten: 16

Re: Machten en machtswortels

Oké, bedankt voor de verduidelijking.
Omhoog

Bericht 15-11-'08, 14:41

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Machten en machtswortels

De discussie over het al dan niet bestaan van negatieve wortels is afgesplitst naar dit topic; de discussie kan daar voortgezet worden.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”