[wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Amon

Dag allen, moet de volgende opgave maken:

beschrijf het gedrag van een oplossing dv/dt =A v, waarbij v een twee-dimensionale vector en A een reele twee 2 x 2 matrix is. Doe dit aan de hand van de eigenwaarden van A (Neem hierbij aan dat A diagonaliseerbaar is)

Ik weet niet goed wat ik met deze opdracht aanmoet. Ik denk dat het de bedoeling is een fase diagram (zoiets als http://dmpeli.mcmaster.ca/Matlab/CLLsoftwa...;/Pendulum2.gif te maken, omdat we het daar deze week over hebben gehad...

Nu heb je dus die vector v en de matrix A. Deze matrix

a b

c d

is diagonaliseerbaar, dus (a,b,c,d > 0 ) (Klopt dit?)

Dan is er nog als tip gegeven dat je de eigenwaarden moet gebruiken.

Deze heb ik als volgt berekend:

Ik noem de eigenwaarde m.

|a-m b |

|c d-m | = 0

Dus

(a-m)(d-m)-bc=0

m²-(a+d)m+(ad-bc)=0

ABC formule

m=(a+d)/2 +- ((a+d²)-4(ad-bc))^0,5 / 2

Klopt dit bovenstaande en hoe zou ik nu verder moeten?

Heeft het zin om de eigenvectoren te berekenen en zo de volgende vergelijking op te stellen:

f'(t) v1 + g'(t) v2 = m1 f(t) v1 + m2 g(t) v2

Waarbij v1 en v2 de eigenvectoren zijn en m1 en m2 de eigenwaarden.

Ik hoop dat jullie mij een beetje kunnen helpen...

Alvast bedankt

Phys

Dat is wel een erg uitgebreide opdracht!

Merk op dat v=0 in alle gevallen een rustpunt is. Inderdaad bepaal je eerste de eigenwaarden. Even een iets andere notatie: laat A uit de elementen a_ij bestaan en m de eigenwaarden, dan los je op

\(m^2-(a_{11}+a_{22})m+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=m^2-\sigma m+\Delta\)

met

\(\sigma\)

=Tr(A) (Trace/Spoor van de matrix) en

\(\Delta\)

=det(A) (de determinant van A).

Dus je krijgt

\(m_{1,2}=\frac{\sigma}{2}\pm\frac{\sqrt{D}}{2}\)

. Als D

0 zijn er twee ongelijke wortels m1 en m2, die reëel zijn als D>0 en complex als D<0. Als D=0, dan is er één reële wortel m=m1=m2.

Nu moet je gevallen gaan onderscheiden. Zo geeft D>0 je na wat rekenen:

stabiel knooppunt voor m2<m1<0

instabiel knooppunt voor 0<m1<m2

zadelpunt voor m2<0<m1

lijnen van vaste punten (stabiel) als m1<0, m2=0)

lijnen van vaste punten (instabiel) als m1=0, m2>0)

en D=0 en D<0 geeft nog andere gevallen.

Al met al lijkt het me een erg uitgebreide opdracht (mijn dictaat besteed er een heel hoofdstuk van 10 pagina's aan), dus ik weet niet wat precies het verwachte antwoord is. Je hebt geen specifieke A gekregen blijkbaar (gezien de aanname dat deze diagonaliseerbaar is)?

dirkwb

Heeft het zin om de eigenvectoren te berekenen en zo de volgende vergelijking op te stellen:

Dat heeft alleen zin als je bewijst dat de algemene vgl. in die vorm is. Om dit realiseren heb A^-1 nodig (en eigenlijk een beginvoorwaarde) m.a.w. je hebt n onafhankelijke eigenvectoren nodig. Gelukkig heb je die, want A is diagonaliseerbaar.

Vervolgens moet je bewijzen dat dit de unieke oplossing is gelukkig hoef je dat niet te doen en kan je refereren naar de existense and uniqueness theorem (hiervoor heb je lipschitz continuiteit nodig maar dat heb je).

Het fasediagram die je laat zien in de link is tamelijk ingewikkeld: het is namelijk een niet-lineaire DV waarbij je als je lineariseert rond (0,0) niet het het gedrag kan bepalen. Hiervoor heb je een first integral nodig (uit de energiebalans te halen) en die moet je lineariseren en de theorie van Morse gebruiken om te bewijzen dat daar gesloten orbits zijn. De andere punten zijn zadelpunten en die zijn via linearisatie te vinden.

Dat is wel een erg uitgebreide opdracht!

Zeker!

Phys

Het fasediagram die je laat zien in de link is tamelijk ingewikkeld: het is namelijk een niet-lineaire DV waarbij je als je lineariseert rond (0,0) niet het het gedrag kan bepalen. Hiervoor heb je een first integral nodig (uit de energiebalans te halen) en die moet je lineariseren en de theorie van Morse gebruiken om te bewijzen dat daar gesloten orbits zijn. De andere punten zijn zadelpunten en die zijn via linearisatie te vinden.

Dat is juist een erg eenvoudig fasediagram. Althans: het is een erg bekende, namelijk die van een slingerbeweging.

Maar het was volgens mij niet de bedoeling van TS om op deze specifieke diagram in te gaan, het diende puur ter illustratie van de term 'fasediagram' (wat eigenlijk overbodig was

).

dirkwb

Dat is juist een erg eenvoudig fasediagram. Althans: het is een erg bekende, namelijk die van een slingerbeweging.

Een bekende maar de analyse is (zeer) moeilijk...dus daarom spreek ik over een moeilijk fasediagram.

Maar het was volgens mij niet de bedoeling van TS om op deze specifieke diagram in te gaan, het diende puur ter illustratie van de term 'fasediagram' (wat eigenlijk overbodig was ).

Dat snap ik, maar ik had er een week geleden college over; dus vertel ik het maar voordat ik het over twee weken weer vergeten ben

Amon

Ten eerste bedankt voor jullie antwoorden.

Ten tweede: Het klopt inderdaad dat ik die fasediagram van de slinger alleen gebruikte als voorbeeld, omdat ik niet zeker wist of fasediagram het juiste woord was...

Ten derde: Het lijkt me heel sterk dat ik volgens de redenatie van dirkwb te werk moet gaan, aangezien ik termen als existense/uniqueness en dat van Lipschnitz en Morse nog nooit gehoord of gelezen heb...

Ik denk dat ik een eind kom met de richting die Phys opgaat, want toevallig kregen wij de dag nadat we de opdracht opgekregen hadden een kort intermezzo in het college dat het begrip trace uitlegde en die relatie met de determinant liet zien...

Ik ga nu zelf even puzzelen en denk dat ik wel een eind kom

PascalR

Hey Phys, die handout die jij over dit onderwerp hebt staat die ergens op internet? Of zou je me die eventueel op willen sturen? Alvast bedankt!

Phys

Helaas, het is een gebonden dictaat, ik heb er geen digitale versie van (en ik heb ook geen scanner

).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

[wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v

Re: [wiskunde] gedrag van oplossing dv/dt = a v