[wiskunde] eigenruimten?

leoxd

Een bewijsvraag waar ik niet uitkom.

Vraag:

Laat ''labda'' een eigenwaarde zijn van de n x n matrix A. Bewijs dat de deelverzameling van Rⁿ (Cⁿ) bestaande uit de nulvector en alle eigenvectoren van A geassocieerd met ''labda'', een deelruimte is van Rⁿ(Cⁿ). Deze deelruimte wordt de eigenruimte geassocieerd met ''labda'' genoemd.

De term eigenruimte is me nog niet compleet duidelijk, maar Iⁿ

heeft als eigenruimte een kolom met 1-en zo groot als n. De eigenruimte kan geen dimensie groter hebben dan n.

Klintersaas

leoxd schreef:Een bewijsvraag waar ik niet uitkom.

Vraag:

Laat ''labda'' een eigenwaarde zijn van de n x n matrix A. Bewijs dat de deelverzameling van Rⁿ (Cⁿ) bestaande uit de nulvector en alle eigenvectoren van A geassocieerd met ''labda'', een deelruimte is van Rⁿ(Cⁿ). Deze deelruimte wordt de eigenruimte geassocieerd met ''labda'' genoemd.

Wat zijn de voorwaarden om van een deelruimte te mogen spreken? Ga die na voor deze situatie.

De term eigenruimte is me nog niet compleet duidelijk,

Een eigenruimte horend bij

\(\lambda\)

is een vectorruimte die bestaat uit alle eigenvectoren (en de nulvectoren) die corresponderen met die gegeven eigenwaarde

\(\lambda\)

.

leoxd

een definitie: C is een deelruimte van R als C een vectoruimte is m.b.t. de operaties in R, dan is C een deelruimte van R.

Dus er moet bewezen worden dat de eigenruimte van een bepaalde ''labda'' een deelruimte is van Rn, dus op te bouwen is uit kolomvectoren van Iⁿ?

Klintersaas

een definitie: C is een deelruimte van R als C een vectoruimte is m.b.t. de operaties in R, dan is C een deelruimte van R.

Specifieker. Een verzameling C is een deelruimte als en slechts als:

C de nulvector bevat;
Als u en v elementen zijn van C, dan is hun som u+v ook een een element van C;
Als u een element is van C en k is een reëel getal, dan is ook het scalair product ku een element van C.

Voorwaarde 1 is reeds voldaan. Ga nu de twee andere voorwaarden na.

PS: Bovenstaande is misschien niet 100% wiskundig correct genoteerd, maar het geeft je een goed idee van wat je zoekt.

leoxd

Dus bijv. zoiets?

\(\lambda\)

X1 = uX1 + vx2+...kXn

\(\lambda\)

X2 = (u+v)X1 + x2 +....kXn

\(\lambda\)

X3 = 0

Maar dat valt toch moeilijk na te gaan als u en v niet bekend zijn. Of u = -v.

TD

Veronderstel dat de er bij λ, k (met k

n) lineair onafhankelijke eigenvectoren horen.

Je moet dan de verzameling \(\mbox{span} \left\{ \vec v_1 , \cdots ,\vec v_k } \right\}\) beschouwen, is dit een deelruimte?

leoxd

\(\mbox{span} \left\{ \vec v_1 , \cdots ,\vec v_k } \right\}\)

Dit zou een deelruimte moeten zijn van de Rn. Met een dimensie gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke vectoren?Omdat er 1 nulvector bij zal dit bijv. in de R3 nooit meer kunnen opspannen dan een vlak(x,y).

TD

We zitten niet in

³, dit is algemener. De vraag is dus eigenlijk: zijn eigenvectoren (horend bij een zekere eigenwaarde) gesloten onder het nemen van lineaire combinaties? Nog met andere woorden: is elk veelvoud van een eigenvector terug een eigenvector en is de som van twee verschillende eigenvectoren ook weer een eigenvector (zie bericht Klintersaas)? Je kan dit eenvoudig nagaan.

leoxd

Nu begrijp ik pas wat ze met de vraag willen bewijzen ;p Een veelvoud k van een eigenvector is niet meer de eigenvector van de oorspronkelijke matrix(A), maar k maal(A). Eigenvectoren optellen..geeft dat ook een eigenvector van die matrix? ( bijv. (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0) dan ook een eigenvector van die matrix?

Klintersaas

Denk aan de vraag! Er wordt gevraagd "Bewijs", niet "Bewijs of geef een tegenvoorbeeld". Je weet dus al dat het klopt, je weet waar je naartoe moet. Ga gewoon na of de som van twee eigenvectoren opnieuw een eigenvector is en of het product van een eigenvector met een reëel getal (= een veelvoud van een eigenvector) opnieuw een eigenvector is.

leoxd

Bedankt voor alle hulp

Nu staat er al een redelijk solide bewijs op papier.

Klintersaas

Zou je het eens met ons willen delen?

TD

Een veelvoud k van een eigenvector is niet meer de eigenvector van de oorspronkelijke matrix(A), maar k maal(A).

Toch wel, een veelvoud van een eigenvector is nog steeds een eigenvector...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] eigenruimten?

[wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?

Re: [wiskunde] eigenruimten?