Ik substitueer
Numerieke waarden even aan de kanten, zodat we niet alles hoeven uit te rekenen, alles klopt behalve het feit dat mijn integraal blijkbaar
Denis
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
Dat legt het perfect uit, had ik maar een boek geschreven door jou!Phys schreef:Je voert de verkeerde berekening uit; goed opletten op je notatie J(u,v).
u=x-y en v=x+y --> x=(u+v)/2 en y=(u-v)/2.
\(|J(u,v)|= \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right| = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)In het algemeen geldt\(\int_D f(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y=\int_{D*} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mbox{d}u\mbox{d}v\)met\(D=f(D*)\)en met
\(\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=|J(u,v)|=\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \)
Wij noemen dat poolcoördinaten (r = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\)), en geen cilindrische. Cilindrische coördinaten zijn net als sferische coördinaten al 3D in onze cursus met sferisch = (x = r sin(phi) cos(theta), y = r sin(phi) sin(theta), z = r cos(phi)) en cilindrisch (eigenlijk hetzelfde als pool, maar dan uitgebreid naar 3D) = (u = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\), z = z)Phys schreef:Sidenote: de Jacobiaan behorend bij de overgang van carthesische naar cilindrische en bolcoordinaten worden zo vaak gebruikt (sowieso in de natuurkunde) dat het handig is om ze te onthouden:\(dxdy \to rdrd\theta\)en\(dxdydz\to r^2\sin\theta drd\theta d\phi \)De eerste berekende je zojuist al, de tweede is ook een straightforward berekening.
Dankje!Graag gedaan, en succes nog!
Onze prof gebruikte cilindrische en poolcoördinaten als volwaardige synoniemen van elkaar. Dat is nog leuker !Wij noemen dat poolcoördinaten (r = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\)), en geen cilindrische. Cilindrische coördinaten zijn net als sferische coördinaten al 3D in onze cursus met sferisch = (x = r sin(phi) cos(theta), y = r sin(phi) sin(theta), z = r cos(phi)) en cilindrisch (eigenlijk hetzelfde als pool, maar dan uitgebreid naar 3D) = (u = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta=\arctan y/x\), z = z)