Afschatting functie

dirkwb

Zij f een reële continue differentieerbare functie op [0,1]->R met f(0)=0, bewijs dat er geldt:

\(||f||_{\infty} \leq \int_{0}^{1}\ |f'(x)|\ \mbox{d}x \)

Ik zie niet wat je moet doen...

jhnbk

Voor wat staat

\(||f||_{\infty}\)

?

PeterPan

Hint:

\(f(t) = \int_0^t f'(x)\ dx\)

ametim

Staat

\( ||f||_{\infty} \)

niet voor het maximum op het gegeven domein?

dirkwb

PeterPan schreef:Hint:

\(f(t) = \int_0^t f'(x)\ dx\)

Hoe moet ik dit gebruiken? Want hier krijg ik te maken met de integraal over de |f'|.

\\\\Edit:

\( f(t) = \int_0^t f'(x)\ \mbox{d}x \leq \left| \int_0^t f'(x) \mbox{ d}x \right| \leq \int_0^1 |f'(x)|\ \mbox{ d}x \)

Dit geldt voor alle t in [0,1] dus geldt er zeker:

\(||f||_{\infty} \leq \int_0^1 |f'(x)|\ \mbox{d}x \)

Is dit correct peterpan?

PeterPan

Bijna.

\( |f(t)| = \left|\int_0^t f'(x) \mbox{ d}x \right| \leq \int_0^t |f'(x)|\ \mbox{ d}x \leq \int_0^1 |f'(x)|\ \mbox{ d}x \)

Dit geldt voor alle t in [0,1] dus geldt er zeker:

\(||f||_{\infty} \leq \int_0^1 |f'(x)|\ \mbox{d}x \)

dirkwb

Ok, en die f(0)=0 is dus hier niet nodig, toch?

PeterPan

Toch wel, anders geldt niet

\(f(t) = \int_0^t f'(x)\ dx\)

dirkwb

Inderdaad.

Wetenschapsforum