[wiskunde] lineaire deelruimtes

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-01-'09, 14:03

Luuk1

Berichten: 200

[wiskunde] lineaire deelruimtes

Hoi, ik heb enkele vragen waar ik niet helemaal uitkom

1. W = {f :P F( :D , :? ) | f is continu en :D f(x)dx(grenzen 2,3) = 0} met F alle functies

Ik moet aantonen dat W een lineaire deelruimte van F is. Dit is vrij vanzelfsprekend, maar hoe moet ik dit nu bewijzen?

- De nulfunctie f(x) = 0 zit erin, en voldoet aan de voorwaarde van de integraal.

- Nu moet ik bewijzen dat als f en g in W liggen, dat f+g dan ook in W liggen, maar hoe?

- :P :D :P en f in W, dan ook ;) f ;) W .. weet zo ook niet hoe ik dit moet aanpakken.

2. W = {f :D P10 | f(2) = 0} met P10 alle 10e graads polynomen. Hier moet ik aantonen dat W een lineaire deelruimte is van P10, en bovendien moet ik een basis bepalen van W. Ik weet ook niet hoe ik dit moet aanpakken.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:09

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Als je 2functies continu zijn, wat weet je dan over
\(\int_2^3 f(x)+g(x) dx\)
? Het enige wat je kan gebruiken is dat
\(\int_2^3 f(x) = 0 = \int_2^3 g(x) dx \)
:D

Als je dit begrijpt, zal je het ook wel kunnen voor µ*f en voor P10 :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:11

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

controleer of het lineair is, door f(x) te vervangen door af(x)+bg(x) en kijk of je dat kan omvormen tot een linaire combinatie van je functie.

(uiteraard, een integraal is lineair)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Luuk1 schreef:1. W = {f :P F( :D , :? ) | f is continu en :D f(x)dx(grenzen 2,3) = 0} met F alle functies

Ik moet aantonen dat W een lineaire deelruimte van F is. Dit is vrij vanzelfsprekend, maar hoe moet ik dit nu bewijzen?

- De nulfunctie f(x) = 0 zit erin, en voldoet aan de voorwaarde van de integraal.

- Nu moet ik bewijzen dat als f en g in W liggen, dat f+g dan ook in W liggen, maar hoe?

- :P :D :P en f in W, dan ook ;) f ;) W .. weet zo ook niet hoe ik dit moet aanpakken.
Je moet inderdaad tonen dat lineaire combinaties in W blijven, maar omdat de integraal lineair is, is dat gemakkelijk.

Neem f en g in W, zit f+g dan ook in W? Wel:
\( \int_2^3 {f + g} = \int_2^3 f + \int_2^3 g = 0 + 0 = 0 \)
2. W = {f :D P10 | f(2) = 0} met P10 alle 10e graads polynomen. Hier moet ik aantonen dat W een lineaire deelruimte is van P10, en bovendien moet ik een basis bepalen van W. Ik weet ook niet hoe ik dit moet aanpakken.
De nulveelterm zit er al in en misschien kan je na de opgave van hierboven zelf ook aantonen dat lineaire combinaties in W zitten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:16

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Bedankt voor de hele snelle hulp allemaal, de eerste opgave snap ik nu, ik ga hem nu zometeen even uitwerken. Ik hoop dat de tweede dan ook lukt. VOor mijn gevoel is het ook allemaal heel logisch, maar ik zag even niet hoe ik het wiskundig moest aantonen.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:26

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Zoals je zei TD:
\(\int_2^3 {f + g} = \int_2^3 f + \int_2^3 g = 0 + 0 = 0\)
Dus ook (f+g)(x) in W.

Met een veelvoud:
\(a. \int_2^3 {f} = a . 0 = 0\)
Dus ook a.f(x) in W.
De nulveelterm zit er al in en misschien kan je na de opgave van hierboven zelf ook aantonen dat lineaire combinaties in W zitten?
\(\int_2^3 {a.f + b.g} = a.\int_2^3 f + b.\int_2^3 g = a.0 + b.0 = 0\)
Dus ook lineaire combinaties in W.
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:28

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Het volstaat natuurlijk ofwel f+g én a*f aan te tonen, ofwel een algemene lineaire combinatie a*f+b*g - snap je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:29

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Het volstaat natuurlijk ofwel f+g én a*f aan te tonen, ofwel een algemene lineaire combinatie a*f+b*g - snap je?


ja ok, want f+g is eigenlijk een bijzonder geval waarbij a = b = 1 bedoel je ofniet?
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:31

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Ja, in twee richtingen. Als a*f+b*g geldt, dan geldt f+g ook (neem a=b=1) en a*f ook (neem g=0); maar omgekeerd kan je ook a*f+b*g maken als je f+g en a*f hebt (doe a*f en b*g, neem dan de som). Om maar te zeggen: het is dus equivalent om ofwel a*f+b*g te tonen, ofwel f+g én a*f. Het volstaat dus ook om een van beide te tonen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:41

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

Oke TD, ik snap wat je bedoelt!

Dan nu de volgende opgave:

1. Wat is nu het nulelement dan? Ik bedoel hoe kan een tiendegraads polynoom nu voor elke x nul zijn?

2. f en g in W, dan ook f+g, want f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0

3. f in W, dan ook a.f, want a.f(2) = a.0 = 0

Hoe bepaal ik nu precies de basis dan, want er moet wel steeds gelden dat f(2) = 0, dus ik kan niet zo maar zeggen basis W = {1,x,x2....,x10}
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:42

stoker

Berichten: 2.746

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

0 kan je zien als 10e graadsveelterm

0 +0x+...+ 0x^10
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

1. Wat is nu het nulelement dan? Ik bedoel hoe kan een tiendegraads polynoom nu voor elke x nul zijn?
De nulveelterm: alle coëfficiënten 0 (dus gewoon '0'). Uiteraard is die in x=2 gelijk aan 0, die is overal 0...
Luuk1 schreef:2. f en g in W, dan ook f+g, want f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0

3. f in W, dan ook a.f, want a.f(2) = a.0 = 0
Inderdaad.
Hoe bepaal ik nu precies de basis dan, want er moet wel steeds gelden dat f(2) = 0, dus ik kan niet zo maar zeggen basis W = {1,x,x2....,x10}
Nee, maar je kan wel vertrekken van deze standaardbasis. De dimensie gaat alleszins eentje minder zijn, dus je gaat ook een basisvector minder hebben. Kunnen er constante niet-nulle veeltermen voorkomen in W?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:49

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

TD schreef:De nulveelterm: alle coëfficiënten 0 (dus gewoon '0'). Uiteraard is die in x=2 gelijk aan 0, die is overal 0...

Inderdaad.

Nee, maar je kan wel vertrekken van deze standaardbasis. De dimensie gaat alleszins eentje minder zijn, dus je gaat ook een basisvector minder hebben. Kunnen er constante niet-nulle veeltermen voorkomen in W?
ik vind het nog lastig. In elk geval kunnen er wel constante niet-nulle veeltermen voorkomen, zolang de coefficient van x^10 maar niet gelijk is aan 0
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:51

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

ik vind het nog lastig. In elk geval kunnen er wel constante niet-nulle veeltermen voorkomen, zolang de coefficient van x^10 maar niet gelijk is aan 0
Nee, want een niet-nulle constante veelterm (zoals '3') kan nooit 0 zijn in x=2, snap je? Die zitten dus niet in W.

De basisvector van de standaardbasis die deze veeltermen voortbrengt (welke is dat?) zit niet in de basis van W.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 05-01-'09, 14:56

Luuk1

Berichten: 200

Re: [wiskunde] lineaire deelruimtes

TD schreef:Nee, want een niet-nulle constante veelterm (zoals '3') kan nooit 0 zijn in x=2, snap je? Die zitten dus niet in W.

De basisvector van de standaardbasis die deze veeltermen voortbrengt (welke is dat?) zit niet in de basis van W.


ah nu begin ik het te begrijpen ja. Dan kan een constant getal al niet voorkomen dus 1 valt er dan uit?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”