Eigenlijk is het niet zo dat je die noemers achter de d plaatst. Onthoud de volgende regel goed:
\(\mbox{d} f(x) = f'(x) \, \mbox{d} x\)
Iets "uit" de d halen betekent dus afleiden en er "dx" achterplakken. Bijvoorbeeld:
d(x²) = 2x dx want (x²)' = 2x
d(sin(x)) = cos(x) dx want (sin(x))' = cos(x).
Het is deze regel die je 'omgekeerd' toepast, in feite doe je een vorm van substitutie.
Vertrekkend van:
\(\int\frac{\mbox{d}x}{2x-6}\)
Zou je graag willen dat de variabele 2x-6 is ("achter de d") in plaats van gewoon x. Je weet dat 2dx = d(2x) via bovenstaande regel, dus als we met 2 vermenigvuldigen en erdoor delen, hebben we:
\(\int\frac{1}{2x-6}\,\mbox{d}x = \frac{1}{2}\int\frac{2}{2x-6} \,\mbox{d}x = \frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x) \)
Dan is er nog het 'trucje' dat je achter de d steeds een constante mag bijtellen. Denk immers terug aan de regel over df(x), die constante valt toch weg bij het afleiden. Dus je mag ook schrijven:
\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x) = \frac{1}{2}\int\frac{1}{2x-6} \,\mbox{d}(2x-6) \)
Wat er dus eigenlijk "achter de d" gebracht werd, was hier die factor 2.