[wiskunde] determinant

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 45

[wiskunde] determinant

De opgave is:

Gegeven is de nxn-matrix A = [aij] met aij =
\( \left \{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{als} & i \neq j \\ 0 & \mbox{als} & i = j \end{array} \)
.

Toon aan dat
\( det(A) = (\alpha - n - 1).(\alpha - 1)^{n-1} \)
.

Ik dacht er aan om dan enkele kolombewerkingen en/of rijbewerkingen uit te voeren. Bijvoorbeeld de laatste kolom van iedere kolom van 1 tot n-1 af te trekken. Maar vanaf daar geraak ik er niet meer goed aan uit...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] determinant

Misschien mis ik iets, maar van waar komt die alfa opeens? Wat is alfa...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: [wiskunde] determinant

Sorry, foutje in de opgave. Het moet zijn alfa ipv 0 in de opgave, dus voor i = j.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] determinant

Volgens mij is het dan (a+n-1)(...)
\(\left| {\begin{array}{*{20}c} a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a & 1 & {} & 1 \\ 1 & 1 & a & {} & 1 \\ \vdots & {} & {} & \ddots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & a \\\end{array}} \right|\)
Van de eerste n-1 rijen, de laatste aftrekken:
\(\left| {\begin{array}{*{20}c} {a - 1} & 0 & 0 & \cdots & {1 - a} \\ 0 & {a - 1} & 0 & {} & {1 - a} \\ 0 & 0 & {a - 1} & {} & {1 - a} \\ \vdots & {} & {} & \ddots & {1 - a} \\ 1 & 1 & 1 & 1 & a \\\end{array}} \right|\)
Bij de laatste kolom, de eerste n-1 kolommen optellen:
\(\left| {\begin{array}{*{20}c} {a - 1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {a - 1} & 0 & {} & 0 \\ 0 & 0 & {a - 1} & {} & 0 \\ \vdots & {} & {} & \ddots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & {a + n - 1} \\\end{array}} \right|\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: [wiskunde] determinant

Ja, is juist, ook verkeerd in de opgave :D

Bedankt voor het antwoord! Ik heb er al bijna de hele morgen op zitten zoeken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] determinant

Normaal geef ik het niet zo snel volledig, maar ik heb even de tijd niet om tien keer op en af met een stapje af te komen :D

Het komt er natuurlijk op aan iets "te zien", je moet (of wil...) nullen maken. Die (n-1)x(n-1) linksboven heeft nu als determinant gewoon het product van de diagonaalelementen, het resultaat volgt dus onmiddellijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: [wiskunde] determinant

Ja, ik dacht ook dat het zo moest, maar ik vond maar geen bewerkingen om het dan door te voeren..

Reageer