[wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling

Cyosis

Het gaat om de volgende opgave:

Bewijs dat als F een eindige verzameling is en B is een aftelbaar oneindige verzameling, dan is B^F aftelbaar oneindig. B^F is gedefinieerd als de verzameling van alle functies f:F->B.

Ik wil nu een bijectie construeren: g:N->B^F

of twee injecties: h1:N->B^F, en h2:B^F->N, zodat ik kan zeggen dat B^F en N dezelfde kardinaliteit hebben en dus is B^F aftelbaar oneindig.

De moeilijkheid zit hem voor mij in het feit dat B^F een verzameling is van functies in plaats van een "gewone" verzameling van getallen of deelverzamelingen. Heeft iemand een idee hoe ik elk element van B^F aan een uniek element van N kan koppelen?

TD

In plaats van te werken met \(\nn\) (aftelbaar), zou je \(\nn \times \nn \times \cdots \times \nn\) (n keer, met n het aantal elementen van F) kunnen beschouwen (ook aftelbaar).

Beschouw dan de functie (met f een functie in B^F):

\(h : B^F \to \nn \times \nn \times \cdots \times \nn : h\left( f \right) = \left( f(1), f(2),\ldots , f(n) \right)\)

Als je kan tonen dat h bijectief is, hebben B^F en \(\nn \times \nn \times \cdots \times \nn\) dezelfde kardinaliteit.

Cyosis

Bedankt ik ben er hiermee uitgekomen.

TD

Prima - graag gedaan! Vanaf hier was het vrij eenvoudig om te tonen dat h injectief en surjectief is, daarmee ben je er.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling

[wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling

Re: [wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling

Re: [wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling

Re: [wiskunde] bewijs aftelbaarheid verzameling