[wiskunde] moeilijke integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 26

[wiskunde] moeilijke integraal

Hallo,

Ik zit nu al 2 dagen op deze integraal te prutsen, en kom er maar niet mee verder..

De opgave is : Int ln(3+x²)

Nu kun je PI toepassen, u = ln (3+x²), dv = 1.dx, du = 1/(3+x²) .2x en v = x

Als je dan herschrijft:

ln (3 + x²). x - Int (( 2x/3+x²) . x . dx)

De integraal kan je herschrijven als

2x² / 3 . ( 1 + (x/V3)²) . dx

Je kan dan substitutie toepassen, t = x/ V3, en krijgt dan

2x² / 3. (1 + t²). dx

Hierna zit ik vast.. Hoe kun je nu verder geraken? De 2/3 kan je nog voor de integraal zetten zodat je krijgt

- 2/3 Int (x² / 1 +t²)

Maar dan zit je nog met 2 onbekenden?

Iemand die me verder zou kunnen helpen?

Bij voorbaat dank

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

De eerste stap partiële integratie is perfect. Doen dan een substitutie met u=Noemer. Je moet opletten dat je bij je substitutie de nieuwe integraal volledig schrijft naar de nieuwe variabele.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 26

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

Moet daar de dx ook nog omzetten ja.. maar dan krijg je 2x² / 3. (1 +t²) . dt/ V3, en zit ik dus nog met 2 variabelen..

Na de PI krijg je Int (2x² / (3 + x²)) . dx

En je zegt dus ipv x/V3 te substitueren, zou ik dan 3 + x² kunnen gelijk stellen aan t?

3 + x² = t

dt = d(3+x²). dx

dt = 2x . dx

dx = dt/ 2x

Maar dan hou nog steeds over (2x / t) . dt? En zit ik nog met 2 variabelen hm?

Of zie ik dit fout?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

Je hebt inderdaad een x² in de teller, voor die breuk (ga zelf na):
\(\frac{{2x^2 }}{{3 + x^2 }} = 2 - \frac{6}{{3+x^2}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

EDIT: hmm, compleet zinloos wat ik zei :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 26

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

TD schreef:Je hebt inderdaad een x² in de teller, voor die breuk (ga zelf na):
\(\frac{{2x^2 }}{{3 + x^2 }} = 2 - \frac{6}{{3+x^2}}\)
Denk dat ik snap wat je bedoelt, (2. (3 + x²) / (3 + x²)) - 6 / (3+x²) = 2x² / (3 + x²) , op gelijke noemers zetten en is dan gelijk aan elkaar.

Dus als je dan de integraal neemt van 2 - (6/ 3 + x²)

Krijg je:

Int( 2 dx) - 6/3 . Int (1 / 1 + (x/V3)²)

De eerste integraal is gelijk aan 2x

de tweede kan je substitueren en dan krijg je

t = x/V3

dt = V3/3 . dx

dx = dt . 3 /V3

6/3. Int (1 / 1+ t²) . dt . 3/ V3

= 6/3 . 3/V3 . Int (1/ 1 + t²)

= 6/3 . 3/V3 . Bgtg (t)

= 6/3. 3/V3 . Bgtg (x/V3)

En het totale tweede deel van de Partiele integratie wordt dan:

2x - 6/V3 . Bgtg (x/V3)

Klopt dit?

Berichten: 758

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

kun je de breuk 6/(x^2 + 3) dan ook weer ''omschrijven'' tot :
\( 2 - 2 * \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{3}})^2} \)
dus de integraal daarom levert dan:
\( \int 2 - 2 * \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{3}})^2} \)
\( [ 2x - 2 * \sqrt{3} arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}) \)


en dan het voorste gedeelte (wat al was verkregen met partiele int.)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] moeilijke integraal

Klopt dit?
Ziet er goed uit!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer