Wetenschapsforum

Hallo,

Ik zit nu al 2 dagen op deze integraal te prutsen, en kom er maar niet mee verder..

De opgave is : Int ln(3+x²)

Nu kun je PI toepassen, u = ln (3+x²), dv = 1.dx, du = 1/(3+x²) .2x en v = x

Als je dan herschrijft:

ln (3 + x²). x - Int (( 2x/3+x²) . x . dx)

De integraal kan je herschrijven als

2x² / 3 . ( 1 + (x/V3)²) . dx

Je kan dan substitutie toepassen, t = x/ V3, en krijgt dan

2x² / 3. (1 + t²). dx

Hierna zit ik vast.. Hoe kun je nu verder geraken? De 2/3 kan je nog voor de integraal zetten zodat je krijgt

- 2/3 Int (x² / 1 +t²)

Maar dan zit je nog met 2 onbekenden?

Iemand die me verder zou kunnen helpen?

Bij voorbaat dank

De eerste stap partiële integratie is perfect. Doen dan een substitutie met u=Noemer. Je moet opletten dat je bij je substitutie de nieuwe integraal volledig schrijft naar de nieuwe variabele.

Moet daar de dx ook nog omzetten ja.. maar dan krijg je 2x² / 3. (1 +t²) . dt/ V3, en zit ik dus nog met 2 variabelen..

Na de PI krijg je Int (2x² / (3 + x²)) . dx

En je zegt dus ipv x/V3 te substitueren, zou ik dan 3 + x² kunnen gelijk stellen aan t?

3 + x² = t

dt = d(3+x²). dx

dt = 2x . dx

dx = dt/ 2x

Maar dan hou nog steeds over (2x / t) . dt? En zit ik nog met 2 variabelen hm?

Of zie ik dit fout?

Je hebt inderdaad een x² in de teller, voor die breuk (ga zelf na):

EDIT: hmm, compleet zinloos wat ik zei

TD schreef:Je hebt inderdaad een x² in de teller, voor die breuk (ga zelf na):

\(\frac{{2x^2 }}{{3 + x^2 }} = 2 - \frac{6}{{3+x^2}}\)

Denk dat ik snap wat je bedoelt, (2. (3 + x²) / (3 + x²)) - 6 / (3+x²) = 2x² / (3 + x²) , op gelijke noemers zetten en is dan gelijk aan elkaar.

Dus als je dan de integraal neemt van 2 - (6/ 3 + x²)

Krijg je:

Int( 2 dx) - 6/3 . Int (1 / 1 + (x/V3)²)

De eerste integraal is gelijk aan 2x

de tweede kan je substitueren en dan krijg je

t = x/V3

dt = V3/3 . dx

dx = dt . 3 /V3

6/3. Int (1 / 1+ t²) . dt . 3/ V3

= 6/3 . 3/V3 . Int (1/ 1 + t²)

= 6/3 . 3/V3 . Bgtg (t)

= 6/3. 3/V3 . Bgtg (x/V3)

En het totale tweede deel van de Partiele integratie wordt dan:

2x - 6/V3 . Bgtg (x/V3)

Klopt dit?

kun je de breuk 6/(x^2 + 3) dan ook weer ''omschrijven'' tot :
dus de integraal daarom levert dan:


en dan het voorste gedeelte (wat al was verkregen met partiele int.)

Klopt dit?

Ziet er goed uit!