Heb nog een beetje verder zitten zoeken naar een verklaring voor die
\(\frac{1}{89}\)
en die
\(\frac{1}{91}\)
. Eerst maar eens gekeken of dit alleen maar geldt voor de Gulden Snedes. Voor hen geldt respectievelijk
\(\Phi^2 - \Phi = 1\)
en
\(\Phi_{i}^2 - \Phi_{i} = -1\)
. Dit kan natuurlijk ook voor andere waardes dan 1 en dit levert de volgende tabel op:
\(\begin{tabular}{|c|ccc|r|} \hline$k$ & $(\frac12+\frac12\sqrt k)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt k)^2$ & $\Phi_{i}^2 - \Phi_{i}$ & Fibonacci en Deler (F_0 10^{-1} + F_1 10^{-2}+F_2 10^{-3}+ ...) \\ \hline-7 & $(\frac12+\frac12\sqrt -7)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -7)^2$ & $-2.00$ & $0, -2.00, -2.00, 0, 2.00, 2.00, 0, -2.00 -> -\frac{2}{91}$ \\-6 & $(\frac12+\frac12\sqrt -6)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -6)^2$ & $-1.75$ & $0, -1.75, -1.75, 0, 1.75, 1.75, 0, -1.75 -> -\frac{1.75}{91}$ \\-5 & $(\frac12+\frac12\sqrt -5)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -5)^2$ & $-1.50$ & $0, -1.50, -1.50, 0, 1.50, 1.50, 0, -1.50 -> -\frac{1.55}{91}$ \\-4 & $(\frac12+\frac12\sqrt -4)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -4)^2$ & $-1.25$ & $0, -1.25, -1.25, 0, 1.25, 1.25, 0, -1.25 -> -\frac{1.25}{91}$ \\\textbf{-3} & $(\frac12+\frac12\sqrt -3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -3)^2$ & $\textbf{-1.00}$ & $0, -1.00, -1.00, 0, 1.00, 1.00, 0, -1.00 -> -\frac{1}{91}$ \\-2 & $(\frac12+\frac12\sqrt -2)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -2)^2$ & $-0.75$ & $0, -0.75, -0.75, 0, 0.75, 0.75, 0, -0.75 -> -\frac{0.75}{91}$ \\-1 & $(\frac12+\frac12\sqrt -1)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -1)^2$ & $-0.50$ & $0, -0.50, -0.50, 0, 0.50, 0.50, 0, -0.50 -> -\frac{0.50}{91}$ \\ 0 & $(\frac12+\frac12\sqrt 0)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -0)^2$ & $-0.25$ & $0, -0.25, -0.25, 0, 0.25, 0.25, 0, -0.25 -> -\frac{0.25}{91}$ \\1 & $(\frac12+\frac12\sqrt 1)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 1)^2$ & $0.00$ & $0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> 0$ \\2 & $(\frac12+\frac12\sqrt 2)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 2)^2$ & $0.25$ & $0, 0.25, 0.25, 0.50, 0.75, 1.25, 2.00, 3.25 -> \frac{0.25}{89}$ \\3 & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)^2$ & $0.50$ & $0, 0.50, 0.50, 1.00, 1.50, 2.50, 4.00, 6.50 -> \frac{0.50}{89}$ \\4 & $(\frac12+\frac12\sqrt 4)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 4)^2$ & $0.75$ & $0, 0.75, 0.75, 1.50, 2.25, 3.75, 6.00, 9.75 -> \frac{0.75}{89}$ \\\textbf{5} & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 5)^2$ & $\textbf{1.00}$ & $0, 1.00, 1.00, 2.00, 3.00, 5.00, 8.00, 13.00 -> \frac{1}{89}$ \\6 & $(\frac12+\frac12\sqrt 6)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 6)^2$ & $1.25$ & $0, 1.25, 1.25, 2.50, 3.75, 6.25, 10.00, 16.25 -> \frac{1.25}{89}$ \\7 & $(\frac12+\frac12\sqrt 7)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 7)^2$ & $1.50$ & $0, 1.50, 1.50, 3.00, 4.50, 7.50, 12.00, 19.50 -> \frac{1.50}{89}$ \\ \hline\end{tabular}\)
Als k met 1 toeneemt dan stijgt het verschil tussen
\(\Phi^2\)
en
\(\Phi\)
met 0.25. Dit is eenvoudig te verklaren met de ABC formule (a=1, b=1, c=-k). In deze formule
\( \frac{1 \pm \sqrt(1^2+4k)}{2}\)
stijgt
\(\sqrt(1^2+4k)\)
telkens met 1 als k met 0,25 toeneemt.
Ook is het oplopen van de breuken
\(\frac{z}{91}\)
voor k<0 en
\(\frac{n}{89}\)
voor k>0 eenvoudig te verklaren. Maar waarom flipt de noemer opeens van 89 naar 91 is me een raadsel?
De herhalende breukpatronen in
\(\frac{z}{91}\)
voor k<0 zijn overgens altijd precies 6 (ook het patroon in de "Fibonacci" reeks).
Dus veralgemeniseert:
\(k \in \mathbb{R}\)
\(\Phi(k) = \frac12 + \frac12 \sqrt k\)
\(\Phi(k)^2 - \Phi(k) = \frac {k-1}{4}\)
\(Fib(k)_0 =0, Fib(k)_1 = \frac {k-1}{4}, Fib(k)_{n} = Fib(k)_{n-1} + Fib(k)_{n-2}\)
\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty Fib(k)_n 10^{(-n-1)} = \left\{\begin{array}{ll}-\dfrac{k-1}{4*91}&k<1\\\dfrac{k-1}{4*89}&k\ge 1\end{array} \)
In elk geval weer een hoop nieuwe LaTex commando's erbij geleerd