De gulden snede (maar dan anders)

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 100

De gulden snede (maar dan anders)

We kennen allemaal de Gulden Snede.

Afbeelding

Die valt vrij eenvoudig te berekenen:
\(\Phi=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\)
\(\Phi^2-\Phi-1=0 \Leftrightarrow \Phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Deze Gulden Snede heeft tal van bijzondere eigenschappen zoals:

* het feit dat opeenvolgende machten van de Gulden Snede optelbaar zijn (zgn. "recurrence relation");

* er is een directe relatie bestaat met de reeks van Fibonacci;

* je kunt hem schrijven als recursieve wortel en een recursieve breuk met enkel het getal 1 (de Gulden Snede wordt ook wel het meest irrationale getal genoemd, maar er bestaat een concurrent dus lees gauw verder!).

Stel dat we de negatieve tegenhanger van de Gulden Snede (ik noem hem
\(\Phi_{i}\)
) als volgt definieren:
\(\Phi_{i}=\frac{a}{b}=\frac{a-b}{a}\)
\(\Phi_{i}^2-\Phi+1=0 \Leftrightarrow \Phi = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\)
Alhoewel het onmogelijk is om deze ratio in een tekening of bouwwerk weer te geven of er een mooie vijfhoek van de maken, blijkt deze tegenhanger ook al die mooie eigenschappen van de echte Gulden Snede te hebben!

Ten eerste ligt er een hele directe link naar
\(\pi\)
en
\(e\)
want:
\(\Phi_{i} = e^{\pm \frac{\pi i}{3}}\)
Ten tweede vond ik net zo'n mooie link naar Fibonacci, maar dan naar de negatieve equivalent daarvan:
\( F_0 = 0\)
\( F_1 = -1\)
\( F_n = F_{n-1} - F_{n-2)\)
Dit resulteert in de reeks:

0,-1,-1, 0, 1, 1, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0...

en je kunt elk getal in de reeks bepalen met de formule (net zoals bij Fibonacci):
\(F_n = \frac{(1-i \sqrt(3))^n - (1+i \sqrt(3))^n}{2^ni\sqrt(3)}\)
Ten derde blijkt dat de opeenvolgende machten gewoon van elkaar afgetrokken kunnen worden (i.p.v. opgeteld):
\(\Phi_{i}^n =\Phi_{i}^{n-1} - \Phi_{i}^{n-2}\)
Als je n = 1 invult, dan ontstaat de speciale relatie:
\(\Phi_{i} =1 - \frac{1}{\Phi_{i}}\)
En die kunnen we gebruiken om de recursieve fractie te bepalen (gewoon telkens de formule voor
\( \Phi_{i}\)
voor de
\( \Phi_{i}\)
onder het breukteken invullen. Dan krijg je:
\(\Phi _{i}= 1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
(dus hoezo
\(\Phi\)
is het meest irrationale getal?)

En daarmee ontstaat de mogelijkheid om stiekem
\(i\)
te definieren zonder een wortel uit een negatief getal te gebruiken :
\( \frac12 + \frac12 i \sqrt(3) = 1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
\( i = \frac{\frac12- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}}{\frac12 \sqrt(3)}\)


:D

Maar laten we als laatste de recursieve wortel niet vergeten die ook keurig blijkt te kloppen (maar dan met -1):
\(\Phi _{i}= \sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
Ik heb dit in stukjes en beetjes eerder deze week op een Amerikaans wiskundeforum gepost maar kreeg nog geen reacties. Dus wellicht doe ik wel iets heel stoms...

Re: De gulden snede (maar dan anders)

\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
Bestaat de limiet van de rij eidige kettingbreuken (=convergenten=approximanten) wel?
\(\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
?
\(\sqrt{-1}\)
bestaat niet zoals je weet, dus wat moet ik dan van deze constructie maken?

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

PeterPan schreef:
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
Bestaat de limiet van de rij eidige kettingbreuken (=convergenten=approximanten) wel?
\(\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
?
\(\sqrt{-1}\)
bestaat niet zoals je weet, dus wat moet ik dan van deze constructie maken?
PeterPan,

De recursieve breuk is afgeleid uit de recursieve formule
\(\Phi_{i} =1 - \frac{1}{\Phi_{i}}\)
en die klopt precies voor
\(\Phi_{i} = \frac12 \pm \frac12 \sqrt3 i\)
. Logischerwijs moet dan de limiet
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
hieraan gelijk zijn (voor de Gulden Snede wordt deze op precies dezelfde manier berekend maar met
\(1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}}\)
)

De recursieve wortelformule heb ik getest voor een groot aantal recursiestappen in Maple en die lijkt te kloppen (waarbij je natuurlijk meteen een punt hebt omdat je bij het testen ergens na een discreet aantal stappen moet stoppen en er "tijdelijk" de waarde
\(\frac12 \pm \frac12 \sqrt3 i\)
moet invullen.

Kan je overigens bewijzen dat de recursieve breuk niet convergeert?

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Oneindige constructies zoals
\(1+\frac14+\frac19+\cdots\)
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
\(\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
\(0,999999999\cdots\)
hebben geen betekenis, tenzij je er een betekenis aan geeft d.m.v. een limietproces.

Zo wordt met
\(1+\frac14+\frac19+\cdots\)
bedoeld de limiet van de reeks
\(1,\ \ \ 1+\frac14,\ \ \ 1+\frac14+\frac19,\ \ \ \cdots\)
en met
\(0,99999999\cdots\)
de limiet van de rij
\(0,9,\ \ \ 0,99,\ \ \ 0,999, \cdots\)
Is
\(0,99999\cdots = 1\)
? Ja, want de limiet van de rij is 1.

Met
\(\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1+...}}}}}\)
wordt bedoeld de limiet van de rij
\(\sqrt{-1},\ \ \ \sqrt{-1+\sqrt{-1}},\ \ \ \sqrt{-1+\sqrt{-1+\sqrt{-1}}},\ \ \ \cdots\)
.

Hierbij moeten we dan afspreken dat we met
\(\sqrt{-1}\)
bedoelen
\(i\)
en dat
\(\sqrt{z}=z^{\frac12}\)
voor
\(z\in \cc \setminus(-\infty,0]\)
.

De limiet is inderdaad
\(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\)
.

Maar wat is
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
?

Ik kan er geen rij bij bedenken zonder ergens door 0 te delen.

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

PeterPan schreef:(...)

Maar wat is
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
?

Ik kan er geen rij bij bedenken zonder ergens door 0 te delen.
Kun je dan wel een rij bedenken bij:
\(1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}\)
?

Toch komt daar kennelijk gewoon
\(\frac12 + \frac12 \sqrt5\)
uit.

Volgens mij zit hem de truc in de recursieve formule waar de enige mogelijke limiet waarde gelijk is aan de oplossing van de recursieve formule. Je kunt je echter niets concreets bij zo'n limiet voorstellen, maar je kunt hem wel uitrekenen.

Re: De gulden snede (maar dan anders)

De rij die bij
\(1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}}\)
hoort is
\(1,\ \ \ 1+ \frac{1}{1},\ \ \ 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}},\ \ \ \cdots\)
De rij
\(1,\ \ \ 1-\frac11, \ \ \ 1-\frac{1}{1-\frac11},\ \ \ \cdots\)
is geen goede rij, want je deelt door 0.

Ook met een truc lukt het niet:

De rij
\(1,\ \ \ 1-\frac12, \ \ \ 1-\frac{1}{1-\frac12},\ \ \, \ 1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac12}}}\ \ \ \cdots\)
convergeert niet.

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

PeterPan schreef:De rij die bij
\(1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}}\)
hoort is
\(1,\ \ \ 1+ \frac{1}{1},\ \ \ 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}},\ \ \ \cdots\)
De rij
\(1,\ \ \ 1-\frac11, \ \ \ 1-\frac{1}{1-\frac11},\ \ \ \cdots\)
is geen goede rij, want je deelt door 0.

Ook met een truc lukt het niet:

De rij
\(1,\ \ \ 1-\frac12, \ \ \ 1-\frac{1}{1-\frac12},\ \ \, \ 1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac12}}}\ \ \ \cdots\)
convergeert niet.
Maar de truc is:

De rij:
\(1,\ \ \ 1-(\frac12+\frac12 i \sqrt3), \ \ \ 1-\frac{1}{1-(\frac12+\frac12 i \sqrt3)},\ \ \, \ 1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-(\frac12+\frac12 i \sqrt3)}}}\ \ \ \cdots\)
"convergeert" altijd naar
\(\frac12-\frac12 i \sqrt3\)
ongeacht de diepte van de recursie.

Dezelfde truc kun je toepassen op de orginele Gulden Snede, maar dan met
\(\frac12+\frac12 \sqrt5\)
.

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Klopt, maar dat kan niet de betekenis zijn van
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
.

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Klopt, maar dat kan niet de betekenis zijn van
\(1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1- ...}}}}\)
.
Waarom niet? Als je de limiet naar nul laat lopen dan moet je inderdaad delen naar nul en als je hem naar +- oneindig laat gaan dan divergeert de reeks. Hij convergeert echter wel voor een limiet naar een complex getal, dus als je het domain tot complexe getallen beperkt dan is dat kennelijk de 'betekenis'.

Nog iets anders wat ik vond:

Door elk n-e element van de reeks van Fibonacci te delen door
\( 10^n\)
en alle resultaten te sommeren krijg je de breuk
\(\frac{1}{89}\)
. Als je dit alternerend +/- doet dan ontstaat de breuk:
\(\frac{1}{109}\)
. Toevallig allebei ook nog priemgetallen.

Vroeg me af of dit ook werkt voor de negatieve Fibonacci reeks:
\(0,-1,-1, 0, 1, 1, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0...\)
Het werkt inderdaad en er komt precies
\(\frac{1}{91}\)
uit en alternerend
\(\frac{1}{111}\)
(ook precies 20 verschil en 2 hoger dan de echte Fibonacci. Beiden geen priem).

Geen flauw idee waarom.

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Ook even getest of de negatieve equivalent van Fibonacci een relatie heeft met de Driehoek van Pascal en dat blijkt ook te kloppen (beginnen met -1 en de som van de twee bovenliggende getallen nemen. De som van de getallen op de schuine lijnen vormen alternerend -/+ precies de reeks).

Afbeelding

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Heb nog een beetje verder zitten zoeken naar een verklaring voor die
\(\frac{1}{89}\)
en die
\(\frac{1}{91}\)
. Eerst maar eens gekeken of dit alleen maar geldt voor de Gulden Snedes. Voor hen geldt respectievelijk
\(\Phi^2 - \Phi = 1\)
en
\(\Phi_{i}^2 - \Phi_{i} = -1\)
. Dit kan natuurlijk ook voor andere waardes dan 1 en dit levert de volgende tabel op:
\(\begin{tabular}{|c|ccc|r|} \hline$k$ & $(\frac12+\frac12\sqrt k)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt k)^2$ & $\Phi_{i}^2 - \Phi_{i}$ & Fibonacci en Deler (F_0 10^{-1} + F_1 10^{-2}+F_2 10^{-3}+ ...) \\ \hline-7 & $(\frac12+\frac12\sqrt -7)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -7)^2$ & $-2.00$ & $0, -2.00, -2.00, 0, 2.00, 2.00, 0, -2.00 -> -\frac{2}{91}$ \\-6 & $(\frac12+\frac12\sqrt -6)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -6)^2$ & $-1.75$ & $0, -1.75, -1.75, 0, 1.75, 1.75, 0, -1.75 -> -\frac{1.75}{91}$ \\-5 & $(\frac12+\frac12\sqrt -5)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -5)^2$ & $-1.50$ & $0, -1.50, -1.50, 0, 1.50, 1.50, 0, -1.50 -> -\frac{1.55}{91}$ \\-4 & $(\frac12+\frac12\sqrt -4)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -4)^2$ & $-1.25$ & $0, -1.25, -1.25, 0, 1.25, 1.25, 0, -1.25 -> -\frac{1.25}{91}$ \\\textbf{-3} & $(\frac12+\frac12\sqrt -3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -3)^2$ & $\textbf{-1.00}$ & $0, -1.00, -1.00, 0, 1.00, 1.00, 0, -1.00 -> -\frac{1}{91}$ \\-2 & $(\frac12+\frac12\sqrt -2)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -2)^2$ & $-0.75$ & $0, -0.75, -0.75, 0, 0.75, 0.75, 0, -0.75 -> -\frac{0.75}{91}$ \\-1 & $(\frac12+\frac12\sqrt -1)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -1)^2$ & $-0.50$ & $0, -0.50, -0.50, 0, 0.50, 0.50, 0, -0.50 -> -\frac{0.50}{91}$ \\ 0 & $(\frac12+\frac12\sqrt 0)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt -0)^2$ & $-0.25$ & $0, -0.25, -0.25, 0, 0.25, 0.25, 0, -0.25 -> -\frac{0.25}{91}$ \\1 & $(\frac12+\frac12\sqrt 1)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 1)^2$ & $0.00$ & $0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 -> 0$ \\2 & $(\frac12+\frac12\sqrt 2)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 2)^2$ & $0.25$ & $0, 0.25, 0.25, 0.50, 0.75, 1.25, 2.00, 3.25 -> \frac{0.25}{89}$ \\3 & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)^2$ & $0.50$ & $0, 0.50, 0.50, 1.00, 1.50, 2.50, 4.00, 6.50 -> \frac{0.50}{89}$ \\4 & $(\frac12+\frac12\sqrt 4)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 4)^2$ & $0.75$ & $0, 0.75, 0.75, 1.50, 2.25, 3.75, 6.00, 9.75 -> \frac{0.75}{89}$ \\\textbf{5} & $(\frac12+\frac12\sqrt 3)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 5)^2$ & $\textbf{1.00}$ & $0, 1.00, 1.00, 2.00, 3.00, 5.00, 8.00, 13.00 -> \frac{1}{89}$ \\6 & $(\frac12+\frac12\sqrt 6)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 6)^2$ & $1.25$ & $0, 1.25, 1.25, 2.50, 3.75, 6.25, 10.00, 16.25 -> \frac{1.25}{89}$ \\7 & $(\frac12+\frac12\sqrt 7)$ & $(\frac12+\frac12\sqrt 7)^2$ & $1.50$ & $0, 1.50, 1.50, 3.00, 4.50, 7.50, 12.00, 19.50 -> \frac{1.50}{89}$ \\ \hline\end{tabular}\)
Als k met 1 toeneemt dan stijgt het verschil tussen
\(\Phi^2\)
en
\(\Phi\)
met 0.25. Dit is eenvoudig te verklaren met de ABC formule (a=1, b=1, c=-k). In deze formule
\( \frac{1 \pm \sqrt(1^2+4k)}{2}\)
stijgt
\(\sqrt(1^2+4k)\)
telkens met 1 als k met 0,25 toeneemt.

Ook is het oplopen van de breuken
\(\frac{z}{91}\)
voor k<0 en
\(\frac{n}{89}\)
voor k>0 eenvoudig te verklaren. Maar waarom flipt de noemer opeens van 89 naar 91 is me een raadsel?

De herhalende breukpatronen in
\(\frac{z}{91}\)
voor k<0 zijn overgens altijd precies 6 (ook het patroon in de "Fibonacci" reeks).

Dus veralgemeniseert:
\(k \in \mathbb{R}\)
\(\Phi(k) = \frac12 + \frac12 \sqrt k\)
\(\Phi(k)^2 - \Phi(k) = \frac {k-1}{4}\)
\(Fib(k)_0 =0, Fib(k)_1 = \frac {k-1}{4}, Fib(k)_{n} = Fib(k)_{n-1} + Fib(k)_{n-2}\)
\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty Fib(k)_n 10^{(-n-1)} = \left\{\begin{array}{ll}-\dfrac{k-1}{4*91}&k<1\\\dfrac{k-1}{4*89}&k\ge 1\end{array} \)


In elk geval weer een hoop nieuwe LaTex commando's erbij geleerd :D

Berichten: 8.614

Re: De gulden snede (maar dan anders)

In elk geval weer een hoop nieuwe LaTex commando's erbij geleerd :D
Dat is zeker! Ik wil haast niet weten hoeveel typwerk je daarin hebt gestoken. Ik hoop in ieder geval van harte dat al je wiskundige inspanningen ooit eens beloond mogen worden met een revolutionaire doorbraak.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Je resultaat voor neg. fibonacci en de driehoek van Pascal vind ik wel aardig.

Zoals je zei is
\(\frac{F_0}{10^1} + \frac{F_1}{10^2} + \frac{F_2}{10^3} + \cdots = \frac{1}{89}\)
Merk op dat 89 zelf ook een Fibonaccigetal is.

Nu zou je je kunnen afvragen of
\(\frac{F_0}{b^1} + \frac{F_1}{b^2} + \frac{F_2}{b^3} + \cdots = \frac{1}{F_n}\)
voor zekere
\(b \ne 10\)
en
\(n \in \nn\)
.

(Deze vraag is gesteld door Ray Steiner en opgelost door B. M. M. de Weger).

Het bijkt dat er geen oplossing is voor
\(b>10\)
.

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

PeterPan schreef:Je resultaat voor neg. fibonacci en de driehoek van Pascal vind ik wel aardig.

Zoals je zei is
\(\frac{F_0}{10^1} + \frac{F_1}{10^2} + \frac{F_2}{10^3} + \cdots = \frac{1}{89}\)
Merk op dat 89 zelf ook een Fibonaccigetal is.

Nu zou je je kunnen afvragen of
\(\frac{F_0}{b^1} + \frac{F_1}{b^2} + \frac{F_2}{b^3} + \cdots = \frac{1}{F_n}\)
voor zekere
\(b \ne 10\)
en
\(n \in \nn\)
.

(Deze vraag is gesteld door Ray Steiner en opgelost door B. M. M. de Weger).

Het bijkt dat er geen oplossing is voor
\(b>10\)
.
Dank hiervoor, Peterpan.

Weet jij toevallig of het ook bewezen is voor de alternerende versie ?
\(\frac{F_0}{10^1} + \frac{F_1}{10^2} - \frac{F_2}{10^3} + \cdots = \frac{1}{109}\)
Dit is weliswaar geen Fibonacci getal, maar je zou kunnen zeggen dat het gelijk moet zijn aan
\(\frac{1}{F_n+20}\)
Ook kunnen we het proberen voor de Neg. Fibonacci:
\(\frac{F_{i0}}{10^1} + \frac{F_{i1}}{10^2} + \frac{F_{i2}}{10^3} + \cdots = \frac{1}{91}\)
Aangezien deze reeks een "repeating groep" heeft van 6 elementen bestaande uit maar 3 cijfers
\(0,-1,-1,0,1,1\)
is het wellicht makkelijk te bewijzen dat:
\(\frac{F_{i0}}{b^1} + \frac{F_{i1}}{b^2} + \frac{F_{i2}}{b^3} + \cdots =\frac{1}{90,91,92}\)
voor zekere
\(b \ne 10\)
en
\(n \in \nn\)
.

P.S.

Ik weet vrijwel zeker dat het verband met de driehoek van Pascal werkt voor alle:
\(\Phi(k)^2 - \Phi(k) = \frac {k-1}{4}, k \in \mathbb{R}\)
(gewoon als startgetal in de top zetten, schuine lijnen +++ voor k>1 en -+- voor k<1, de driehoek heeft alleen maar nullen voor k=0).

Berichten: 100

Re: De gulden snede (maar dan anders)

Dat is zeker! Ik wil haast niet weten hoeveel typwerk je daarin hebt gestoken. Ik hoop in ieder geval van harte dat al je wiskundige inspanningen ooit eens beloond mogen worden met een revolutionaire doorbraak.
Dank je, Klinterklaas. We blijven dromen van een doorbraak. :P Al was het maar een kleine kruimel die de grote wiskundigen hebben laten liggen.

Het typewerk viel reuze mee. Ik heb een tabel in LaTex gekopieerd van een andere site en daarna de kop en body veranderd. De rijen van de tabel lijken allemaal erg op elkaar. Sterker nog: hoe langer ik naar die Gulden Snede en Fibonacci reeks kijk, hoe minder bijzonder ze worden. Het blijkt me steeds meer dat het simpelweg bijzondere manifestaties van veel algemenere patronen... :D

P.S. (nog twee voorbeelden van een algemeen patroon)

1. Het blijkt dat ook de alternerende som van alle n Neg. Fibonacci getallen is het (n+2)-e Fibonacci getal min 1.
\(\displaystyle\sum_{n=0}^n (-1)^n F_{i(n)} = F_{i(n+2)-1\)
2. En ook dat de som van de n alternerende kwadraten van de Neg Fibonacci reeks is
\(F_{i(n)} * F_{i(n+1)}\)
:
\(\displaystyle\sum_{n=0}^n (-1)^n F_{i(n)}^2 = F_{i(n)}*F_{i(n+1)}\)

Reageer