[wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

[wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Hey,

gevraagd is om na te gaan welke van volgende beweringen klopt (en zeg wanneer het wel zou kloppen...)
\(f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\)
en
\(f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B)\)
Ik dacht het eerste geldt enkel als f surjectief is...

En het 2de heb ik dan zo bewezen (dit is slechts een schets van het bewijs zodat je mijn gedachtegang kan volgen :P ):

Kies
\(x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\)
, dan is
\(x \in f^{-1}(A)\)
en
\(x \in f^{-1}(B)\)
. Er bestaan dus
\(y_1 \in A\)
en
\(y_2 \in B\)
zodat f(x) = y1 en f(x) = y2.

Nu moeten dus y1 en y2 gelijk zijn; of dus maw
\(y_1, y_2 \in A \cap B\)
en dus
\(x \in f^{-1}(A \cap B)\)
...

KLopt dit zo wat? :P

EDIT: ik behandel functies gelijk al eens in een ander topic ter sprake is gekomen (en ik zal zoeken :D ): het bestaan van een inverse betekent NIET dat f bijectief is.

klik
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Een inverse afbeelding bewaart unies en doorsnedes, de gelijkheid geldt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Dus je hebt geen surjectiviteit of iets dergelijks nodig voor de gelijkheid?

EDIT: is dit dan een (ruwe schets van) bewijs?:

kies
\(x \in f^{-1}(A \cap B)\)
; er bestaat dus
\(y \in A \cap B\)
zodat f(x) = y. Maw
\( y \in A\)
en
\( y \in B\)
dus
\(x \in f^{-1}(A)\)
en
\(w \in f^{-1}(B)\)
QED
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

In welke stap zou je dat gebruiken of nodig hebben?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Dus je hebt geen surjectiviteit of iets dergelijks nodig voor de gelijkheid?


De inverse functie bestaat toch alleen maar als f een bijectie is? Of zie ik dat verkeerd?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

@ TD: toen ik het "bewijsje" opschreef merkte ik rap: nergens :D

@Xenion: bemerk mijn opmerking en de link :P Daar is dat ook al ter sprake gekomen. Maw: neen; in mijn geval moet bijectiviteit niet voor het bestaan van de inverse...Voor de nauwkeurigheid moet ik eigenlijk ook schrijven
\(f^{-1}(\{y\})\)
:P
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Drieske schreef:@ TD: toen ik het "bewijsje" opschreef merkte ik rap: nergens :P

@Xenion: bemerk mijn opmerking en de link :P Daar is dat ook al ter sprake gekomen. Maw: neen; in mijn geval moet bijectiviteit niet voor het bestaan van de inverse...Voor de nauwkeurigheid moet ik eigenlijk ook schrijven
\(f^{-1}(\{y\})\)
:D
Slordig van me, mijn excuses :P

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

@Xenion: bemerk mijn opmerking en de link :D Daar is dat ook al ter sprake gekomen. Maw: neen; in mijn geval moet bijectiviteit niet voor het bestaan van de inverse...Voor de nauwkeurigheid moet ik eigenlijk ook schrijven
\(f^{-1}(\{y\})\)
:P
Voor de duidelijkheid: je hebt geen bijectiviteit nodig omdat het helemaal niet om een inverse functie gaat, maar om het inverse beeld van een afbeelding.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Idd, ook deels mijn fout :P Had ik kunnen (en moeten) vermelden :P

En Xenion, geen probleem :D
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 43

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

maar wanneer je dan niet het inverse beeld neemt, maar gewoon de functie van de doorsneden zoals volgt:
\(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\)
heb je wel injectiviteit nodig, of vergis ik me?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Klopt, voor f willekeurig geldt
\(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
Indien f injectief is, geldt de gelijkheid.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 43

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

het leek me intuïtief dat als je met
\(f\)
werkt je injectiviteit nodig hebt,

je dan met
\(f^{-1}\)
werkt, je dan surjectiviteit zou nodig hebben,

maar idd omdat je met het inverse beeld werkt ,in plaats van de inverse, is dit niet nodig.

bedankt voor de verduidelijking !

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] doorsnede inverse beelden...

Graag gedaan, succes!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer