[wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Klintersaas

De goniometrische vergelijking

\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)

loste ik als volgt op:

\(\begin{array}{lrr}\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1 && \\&& (1) \\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \cot^2(x) \\&& (2) \\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \tan^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&& (3) \\\Leftrightarrow \tan(2x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&& (4) \\\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k\pi \\&& (5) \\\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\&& (6)\\\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}\end{array}V = \left\{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}\ \mbox{met}\ k\ \in\ \zz\)

Ik ben echter niet zeker dat ik alle oplossingen te pakken heb. Vooral overgang (3) lijkt in mijn ogen dubieus. Goed mogelijk dat het vals alarm is, maar toch...

TD

Drie is inderdaad dubieus. Volgt uit a² = b² enkel a = b? In dit geval verloor je er echter geen oplossingen door.

Er is nog een dubieuze stap...

Drieske

EDIT: TD was me voor

Klintersaas

Drie is inderdaad dubieus. Volgt uit a² = b² enkel a = b? In dit geval verloor je er echter geen oplossingen door.

Ik weet dat ik daarmee geen oplossing verloor, daarom heb ik het ook verkort opgeschreven. Mijn notatie was misschien niet helemaal correct. Beter lijkt me:

\(\begin{array}{lclr}\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1 \\&&& (1) &\\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \cot^2(x) \\&&& (2) &\\\Leftrightarrow \tan^2(2x) = \tan^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) \\&&& (3) &\\\Leftrightarrow \tan(2x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) & \mbox{of} & \tan(2x) = -\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x \right)\\&&& (4) &\\\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k\pi & \mbox{of} & 2x = -\dfrac{\pi}{2} + x + k\pi\\&&& (5) &\\\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi & \mbox{of} & x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi\\&&& (6) &\\\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} & \mbox{of} & x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\\\end{array}\)

, wat betekent dat

\(\tan^2(x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0\)

? Dat had ik er misschien ook bij moeten vermelden.

TD

Het gaat me niet echt om het vermelden, maar wel om de gevolgen - je hebt hierdoor namelijk oplossingen ingevoerd die er geen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Je hebt dus niet te weinig, maar te veel oplossingen te pakken

EDIT: Bedoel je stap (1), waar ik beide leden deel door
\(\tan^2(x)\)
, wat betekent dat
\(\tan^2(x) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0\)
? Dat had ik er misschien ook bij moeten vermelden.

Opmerking tussendoor: tan(x) wordt 0 voor meer waarden van x dan alleen x=0.

Maar: je vermenigvuldigt beide leden met cot²(x), dus cot(x) mag niet 0 zijn, dus x mag niet...

Klintersaas

Het gaat me niet echt om het vermelden, maar wel om de gevolgen - je hebt hierdoor namelijk oplossingen ingevoerd die er geen zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Je hebt dus niet te weinig, maar te veel oplossingen te pakken

Natuurlijk! Helemaal over het hoofd gezien. Ik hield er geen rekening mee dat ook de bestaansvoorwaarde voor meer dan één hoek opging. De correcte bestaansvoorwaarde is dus

\(x \neq \frac{k\pi}{2}\)

.

Ik moet dus alle veelvouden van

\(\frac{\pi}{2}\)

uit de oplossingenverzameling wegzuiveren. Die wordt dan

\(V = \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\right\} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\} \mbox{met}\ k \in \zz\)

.

TD

De correcte bestaansvoorwaarde is dus
\(x \neq \frac{k\pi}{2}\)
.

Niet helemaal, zo is er voor x = 0 (neem k = 0) bijvoorbeeld geen probleem. De cotangens wordt 0 voor pi/2 + k.pi.

Klintersaas

Niet helemaal, zo is er voor x = 0 (neem k = 0) bijvoorbeeld geen probleem. De cotangens wordt 0 voor pi/2 + k.pi.

Hoezo geen probleem? Voor x = 0 bestaat de cotangens toch niet en het lijkt me vervelend om beide leden van een vergelijking te vermenigvuldigen met iets dat niet bestaat.

Safe

Klintersaas schreef:De goniometrische vergelijking
\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)
loste ik als volgt op:

\(\tan^2(2x) \cdot \tan^2(x) = 1\)

Waarom niet:

\((\tan(2x) \cdot \tan(x))^2 = 1\)

TD

Hoezo geen probleem? Voor x = 0 bestaat de cotangens toch niet en het lijkt me vervelend om beide leden van een vergelijking te vermenigvuldigen met iets dat niet bestaat.

Waarom sluit je dan k.pi/2 uit? Ik denk dat je daarmee doelt op de punten waar cot(x) net 0 wordt en dat is pi/2+k.pi, iets anders dan k.pi/2. In punten x = k.pi bestaat cot(x) niet; in de oorspronkelijke vergelijking kan je x = 0 zonder probleem invullen, maar het zal geen oplossing zijn.

Drieske

Toch eventjes opmerken

Eerst zegt Klintersaas idd

\(k \frac{ \pi }{2}\)

, maar in de oplossingsverzameling V schrijft ie het wél juist

Mss had je dat al door, maar wou het toch even opmerken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] goniometrische vergelijkingen

[wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen

Re: [wiskunde] goniometrische vergelijkingen