Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
Voor eindige verzamelingen kunnen we het aantal elementen gewoon geven, maar bij oneindige verzamelingen is dat lastiger. Je moet dan ook voorzichtig zijn met de formulering, want het "aantal elementen" inIk ben er al achtergekomen wat de kardinaliteit is, het aantal elementen van een verzameling, maar voor de rest zou ik geen flauw idee hebben hoe hieraan te beginnen
en is natuurlijk "oneindig". Toch willen we de groottes kunnen vergelijken (dus verschillende "mate van oneindigheid" onderscheiden), daarvoor dient de kardinaliteit. heeft, als je een bijectie kan vinden tussen X en 
. Dat wil zeggen dat je met elk element van , precies een element van X laat overeenkomen; je zoekt dus een een-tot-een verband.Hier is het dus de bedoeling om te tonen dat je zo geen bijectie kan vinden tussenchristopher.hex schreef:voor een groepswerk voor school moet ik het volgende bewijzen:
"De ongelijkheid van de kardinaliteit van de verzameling van de natuurlijk getallen en die van de reële getallen."
en . Ik vermoed dat je niet zelf op een bewijs moet komen, maar het gekende klassieke bewijs hiervoor moet opzoeken, trachten te begrijpen en uitleggen in je werkstuk. Al eens gezocht? Kijk eens naar het diagonaalbewijs van Cantor. Omdat ook de kardinaliteit van de rationale getallen gelijk is aan die van de natuurlijke, rijst de vraag of alle verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben als die van de natuurlijke getallen. Dit is niet zo, en dat kunnen we natuurlijk ook bewijzen! Voor (Om) dit bewijs op te stellen, maken we gebruik van reductio ad absurdum. Concreet nemen we aan dat de kardinaliteit wel hetzelfde isen we op een contradictie stuiten en vervolgens stuiten we op een contradictie. Dit bewijs noemt (heet) het diagonaalbewijs van de wiskundige Cantor.
De bovenstaande opmerkingen zijn eerder van taalkundige aard.De lijst gaat in twee richtingen naar oneindig. Nu nemen we van het eerste getal het eerste cijfer na de komma, van het tweede getal het tweede cijfer van het getal (na de komma), enz. . We verkrijgen dan het getal 0,08813 . Als we elk cijfer nu veranderen (vermeerderen met 1 bv.) krijgen we het getal 0,19924 .
Dit getal kan nooit meer in de lijst staan. Want als we uit de lijst het getal n nemen, en daar het n-de cijfer met 1 vermeerderen, verschilt het altijd minstens 1 cijfer met alle andere getallen. Hieruit kunnen we besluiten dat er tussen 0 en 1 een overaftelbaar aantal reële getallen zit, met als gevolg dat de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner is als (dan) die van de reële getallen.
