Van Recursief naar Direct

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 01-04-'06, 15:06

JesseM

Van Recursief naar Direct

In de wiskunde les waren we laatst bezig met recursieve en directe formules, we hadden op een gegeven moment de recursieve formule: Un =0,9 * Un-1 + 500 met Uo=10 000

Dan kom je dus, als het goed is, op een getallenrij van 10 000 - 9500 - 9050 - etc.

Het was verder niet de opdracht toen, maar ik vroeg me af wat de directe formule zou zijn. Mijn medeleerlingen snapte het echter ook niet, dus vroegen we het de leraar. Die bleek het ook niet te weten! Nou vraag ik me af.. Is het uberhaupt wel mogelijk?
Omhoog

Bericht 01-04-'06, 15:41

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Van Recursief naar Direct

Als je de precieze getallen even achterwege laat, en de eerste paar termen eens uitschrijft, dan krijg je:
\(U_1 = a \cdot U_0 + b\)
\(U_2 = a \cdot U_1 + b = a (a \cdot U_0 + b) + b = a^2 U_0 + a \cdot b+b\)
...
\(U_n = a \cdot U_{n-1} + b = \dots = a^nU_0+(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)b\)
Die som
\((a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)\)
die daar ontstaan kun je makkelijker maken door hem met (1-a) te vermenigvuldigen en daarna weer te delen, dan krijg je
\((1-a+a-a^2-a^2+\dots-a^{n-1}+a^{n-1}-a^n)/(1-a)\)
en daarvan heffen die opvolgende termen elkaar steeds op, dus dat is gelijk aan
\((1-a^n)/(1-a)\)
Kortom, als
\(U_n = a \cdot U_{n-1}+b\)
, dan
\(U_n = a^n \cdot U_0 + \frac{1-a^n}{1-a}b\)
.

In dit geval
\(U_n = (0.9)^n \cdot 10000 + \frac{1-(0.9)^n}{0.1}500\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 01-04-'06, 17:31

JesseM

Re: Van Recursief naar Direct

Ja hij klopt! :roll: Geinig, ik heb zelf geen M&O maar een klasgenoot zegt dat ze het exact zo leren bij M&O...

Maar bedankt! :P
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”