[wiskunde] raakvlak bepalen

[tempelier]

hoezo moet er niet afgeleid worden naar z??

Ga even terug naar het zelfde geval met slechts 1-variabele waar de raaklijn wordt bepaald van y=f(x) in ( x,f(x) )
dan wordt er toch ook geen afgeleide naar y bepaald.

Is je bekent hoe de raaklijn met 1-variable wordt gevonden?
Weet je dat niet dan is die voor meer variabelen wat cryptisch denk ik.

[Maarten072]

ja ik weet hoe het moet met 1-variabele, maar bij een oefening die ik een paar dagen geleden maakte moest ik zowel naar x, y als z afleiden voor het raakvlak op te stellen dus ben een beetje verward nu...
Maar waarschijnlijk zal bij mijn oefening de z niet afhankelijk geweest zijn van de x en y?

[tempelier]

ja ik weet hoe het moet met 1-variabele, maar bij een oefening die ik een paar dagen geleden maakte moest ik zowel naar x, y als z afleiden voor het raakvlak op te stellen dus ben een beetje verward nu...
Maar waarschijnlijk zal bij mijn oefening de z niet afhankelijk geweest zijn van de x en y?

Het werkt vrij simpel.

Laat f een functie zijn van 2-var z=f(x,y) en f voldoende glad om een raakvlak te hebben en de partiële afgeieiden bestaan..

Laat de partiële afgeleide:
naar x zijn f_x
naar y zijn f_y

Laat R een raakvlak zijn in (x₀,y₀z₀)

Bedenk nu dat de partiële afgeleiden van f de zelfde zijn als van het raakvlak R in het raakpunt.
Met R: z=ax+by+s

Breng een vlak R₂ aan door (0,0,0,) evenwijdig aan R
R₂: z=ax+by
De partiële afgeleiden blijven dan weer gelijk.

Maar de partiële afgeleiden zijn in (0,0,0) ook a en b zoals direct te zien is.

Dit geeft dat a=f_x(x₀,y₀) , b=f_y(x₀,y₀)

Het vlak door de oorsprong heeft dus de vergelijking: z=f_x(x₀,y₀)x + f_y(x₀,y₀)y

Transleren naar het raakpunt geef dan:
R: z-z₀=f_x(x₀,y₀)(x-x₀) + f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

Hopelijk is het zo wat duidelijker.

[TD]

ja ik weet hoe het moet met 1-variabele, maar bij een oefening die ik een paar dagen geleden maakte moest ik zowel naar x, y als z afleiden voor het raakvlak op te stellen dus ben een beetje verward nu...
Maar waarschijnlijk zal bij mijn oefening de z niet afhankelijk geweest zijn van de x en y?

Als je z als functie van x en y krijgt, wordt de vergelijking van het raakvlak gegeven door wat ik eerder hier schreef (bijna 10 jaar geleden ).

Als je z niet als functie van x en y hebt, maar wel een impliciet verband tussen x, y en z van de vorm F(x,y,z) = k,dan kan je nog steeds de vergelijking van het raakvlak in het punt (a,b,c) dat op de grafiek van F ligt opstellen aan de hand van de partiële afgeleide van F, naar zowel x, y als z; dat wordt:

\({\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right|_{\left( {a,b,c} \right)}}\left( {x - a} \right) + {\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right|_{\left( {a,b,c} \right)}}\left( {y-b} \right)+{\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right|_{\left( {a,b,c} \right)}}\left( {z - c} \right)=0\)

Het is niet moeilijk om in te zien dat de eerste vergelijking van het raakvlak een speciaal geval is van bovenstaande, in het geval dat je F(x,y,z) = k expliciet kan oplossen naar z, en dus een functie van de vorm z = f(x,y) krijgt.