[natuurkunde] kracht op massa

[ukster]

kracht op massa.jpg (28.35 KiB) 675 keer bekeken

Dit vraagstukje lijkt af te wijken van de gebruikelijke eenparige bewegingen.
Kan het zijn dat op t=65 sec en een afgelegde weg van 900m het blok tot stilstand komt? (Fw is de wrijvingskracht)
 
 

[ukster]

of is het misschien t=65 sec en afgelegde weg 675m
dan zou het blok tot stilstand komen bij F<5N

[Professor Puntje]

Geldt er:  F_w = μ_statisch . m g ?

[ukster]

Geldt er:  F_w = μ_statisch . m g ?

en ook Fw_dynamisch=μ_dynamisch.m.g

[Professor Puntje]

Maar wat is dan die F_w in de grafiek van F?

[ukster]

dat is de statische wrijvingsweerstand die eerst overwonnen moet worden om het blok in beweging te krijgen.
de kracht F bouwt zich dus op tot die waarde, daarvoor is er geen beweging.
als het blok in beweging komt hebben we alleen te maken met de dynamische wrijving

[Professor Puntje]

OK - dan kun je voor na het tijdstip 5 sec een differentiaalvergelijking opstellen. Die vergelijking geldt dan voor zolang het blok nog in beweging is.

[ukster]

ik dacht aan formule voor F(t) opstellen en dan a=(F-F_w)/m ,v=int(a.dt) en s=int(v.dt)

[Professor Puntje]

Hieronder een min of meer experimentele oplossing zonder differentiaalvergelijking:

 

Het blokje begint in rust en eindigt in rust. Niettemin wordt er een krachtstoot J op uitgeoefend ter grootte van:

\( \mbox{J} = \int_{0 s}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \)

Omdat er voor het systeem als geheel behoud van impuls moet gelden zal de krachtstoot die via de wrijving van het blokje op de ondergrond wordt overgedragen in totaal ook J moeten zijn. Echter weten we niet of het blokje voor, na of op het tijdstip t = 75 s tot rust komt! We proberen of er een oplossing is waarbij het blokje vóór of op t = 75 s tot rust komt. Dan geldt er:

\( \mbox{J} = \int_{0 s}^{5 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \,\, + \,\, \int_{5 s}^{T} \mbox{F}_{w,dyn} \,\, \mbox{d} t \\ + \,\, \int_{T}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \)

Zodat:

 

\( \int_{0 s}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t = \int_{0 s}^{5 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \,\, + \,\, \int_{5 s}^{T} \mbox{F}_{w,dyn} \,\, \mbox{d} t \,\, + \,\, \int_{T}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \)

 

\( \int_{5 s}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t \,\, - \,\, \int_{T}^{75 s} \mbox{F}(t) \,\, \mbox{d} t = \int_{5 s}^{T} \mbox{F}_{w,dyn} \,\, \mbox{d} t \)

 

\( \frac{1}{2} \, (\mu_{stat} \, \mbox{m g} ) \cdot 70 s \, - \, \frac{1}{2} \, \mbox{F}(T) \cdot (75 s - T) \, = \, \mu_{dyn} \, \mbox{m g} \cdot (T - 5 s) \)

 

\( \frac{1}{2} \, (\mu_{stat} \, \mbox{m g} ) \cdot 70 s \, - \, \frac{1}{2} \, \left (\frac{\mu_{stat} \, \mbox{m g}}{70 s} \cdot (75 s - T) \right ) \cdot (75 s - T) \, = \, \mu_{dyn} \, \mbox{m g} \cdot (T - 5 s) \)

 

\( \frac{1}{2} \, \mu_{stat} \cdot 70 s \, - \, \frac{1}{2} \, \left (\frac{\mu_{stat} }{70 s} \cdot (75 s - T) \right ) \cdot (75 s - T) \, = \, \mu_{dyn} \cdot (T - 5 s) \)

 

\( 70 s \, - \, \frac{(75 s - T)^2}{70 s} \, = \, 2 \cdot \frac{\mu_{dyn}}{\mu_{stat}} \cdot (T - 5 s) \)

 

\( 14 \, - \, \frac{(15 - T/(5 s))^2}{14} \, = \, 2 \cdot \frac{\mu_{dyn}}{\mu_{stat}} \cdot (T/(5 s) - 1) \)

 

 

Laat voor het gemak τ = T/(5 s) . Verder vullen we μ_staten μ_dyn in. Dan hebben we:

 

\( 14 \, - \, \frac{(15 - \tau)^2}{14} \, = \, 2 \cdot \frac{0,2}{0,35} \cdot (\tau - 1) \)

 

\( 14^2 \, - \, (15 - \tau)^2 \, = \, 16 (\tau - 1) \)

 

\( (14 \, + \, (15 - \tau)) \cdot (14 \, - \, (15 - \tau)) \, = \, 16 (\tau - 1) \)

 

\( (29 - \tau) \cdot (\tau - 1) \, = \, 16 (\tau - 1) \)

 

Het is duidelijk dat τ = 1 een oplossing is. Dat is het geval dat het blok net begint te bewegen. Voor het andere geval (dat het blok net gestopt is met bewegen) mogen we dus τ ≠ 1 veronderstellen. En dan komt er:

 

\( 29 - \tau = 16 \)

 

\( \tau = 13 \)

 

Dus:

 

T = 13 . 5 s = 65 s .

 

Onze veronderstelling dat het blok vóór of op het tijdstip t = 75 s tot rust komt was dus (vermoedelijk?) correct.
 
Vermoedelijk - want zou er ook een oplossing zijn uitgaande van de veronderstelling dat het blokje pas op een tijdstip ná t = 75 s stopt met schuiven (en dat heb ik niet nagetrokken), dan is het de vraag wat het echte tijdstip van stoppen voor het blokje is.
 
 

[ukster]

@PP Allereerst mijn complimenten voor de aanpak vanuit de wet van behoud van impuls.
Je hebt altijd een bijzondere- en verfrissende aanpak van (technische) problemen in het algemeen. Dit getuigd van brede en gedegen kennis
nooit aan gedacht om het vraagstuk op deze manier aan te pakken.
ik dacht eigenlijk direct aan het toepassen van de Newtoniaanse bewegingsformules.

kracht op massa.pdf

(208.05 KiB) 55 keer gedownload

dat geeft in dit geval hetzelfde resultaat voor het tijdstip waarbij de massa tot stilstand komt (t=65 sec) en ook nog de afgelegde afstand s=900m.   Hieronder de bijbehorende grafieken voor F, a, v en s

kracht op massa.jpg (33.08 KiB) 670 keer bekeken