[wiskunde] Taylorreeks

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 2.639

Re: Taylorreeks

TD schreef:  
Je mag het kenmerk wel toepassen, maar je moet dat goed doen: let op dat je x en n niet (een paar keer) verwisselt...
 
Je krijgt dus:
 
\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;x^{n+1}}{n!\;x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left| (n+1)\;x}\right|\)
 
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
 
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.
Volgens mij mag dat niet op die manier.
Want de linker limiet staat dan 0/0 en die vorm is niet gedefinieerd.
Men mag dus voor x=0 niet zo maar overstappen naar de rechter limiet.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 1.766

Re: Taylorreeks

@TD
 
Als ik me goed herinner ben jij een 'officiële' wiskundige.
 
 
Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Taylorreeks

Xilvo schreef: Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.
 
Geen idee van welke functie dit de Taylorreeks is / zou zijn; het lijkt me veiliger om gewoon van een machtreeks te spreken: ik vermoed zelfs dat dat ook bedoeld wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 28

Re: Taylorreeks

TD schreef:  
Je mag het kenmerk wel toepassen, maar je moet dat goed doen: let op dat je x en n niet (een paar keer) verwisselt...
 
Je krijgt dus:
 
\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;x^{n+1}}{n!\;x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left| (n+1)\;x}\right|\)
 
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
 
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.
 
Ahhhn oké nu snap ik het! Dankjewel! 

Gebruikersavatar
Berichten: 2.639

Re: Taylorreeks

Xilvo schreef: @TD
 
Als ik me goed herinner ben jij een 'officiële' wiskundige.
 
 
Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.
Ik heb er nog even over nagedacht.
De reeks definieert wel degelijk een functie namelijk f(0)=0 met Df=[0]
 
Of er een niet analytische functie is die over een groter definitie gebied deze Divergente Taylor(?) reeks genereert weet ik niet.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.216

Re: Taylorreeks

Een vergelijkbare reeks is onderzocht door Euler. Zie: https://archive.org/details/DivergentSeries/page/n41

Gebruikersavatar
Berichten: 2.639

Re: Taylorreeks

Professor Puntje schreef: Een vergelijkbare reeks is onderzocht door Euler. Zie: https://archive.org/details/DivergentSeries/page/n41
Interessant.
 
PS.
Ik ken dit archief wel, maar wist niet dat er dit soort boeken op stonden.
Ik haal daar veel oude films van af zoals Frankenstein met Boris Karlof.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Taylorreeks

Xilvo schreef:Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.

 
Geen idee van welke functie dit de Taylorreeks is / zou zijn; het lijkt me veiliger om gewoon van een machtreeks te spreken: ik vermoed zelfs dat dat ook bedoeld wordt.
 

Aanvulling: kennelijk wel en sterker nog, elke machtreeks (met reële coëfficiënten) is de Taylorreeks van een (voldoende gladde) functie.
 
Ik denk echter nog steeds dat het in de context van deze opgave niet de bedoeling was om de reeksen te zien als Taylorreeksen van een bepaalde functie, maar enkel om het convergentiegebied van de machtreeksen als dusdanig te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)


Gebruikersavatar
Berichten: 4.216

Re: Taylorreeks

tempelier schreef:Ik ken dit archief wel, maar wist niet dat er dit soort boeken op stonden.

Ik haal daar veel oude films van af zoals Frankenstein met Boris Karlof.
 
Haha - dat is andere koek!

Gebruikersavatar
Berichten: 1.766

Re: Taylorreeks

TD schreef: Aanvulling: kennelijk wel en sterker nog, elke machtreeks (met reële coëfficiënten) is de Taylorreeks van een (voldoende gladde) functie.
 
Ik denk echter nog steeds dat het in de context van deze opgave niet de bedoeling was om de reeksen te zien als Taylorreeksen van een bepaalde functie, maar enkel om het convergentiegebied van de machtreeksen als dusdanig te bepalen.
Dank. Ik weet niet wat in deze context 'voldoende glad' is maar een functie waarvan bij x=0 de n-de afgeleide (n!)2 is zal zeker niet bijzonder glad zijn  ;)
 
Het woordje 'Taylorreeks' in de opgave biedt verder ook geen informatie waar de student iets aan heeft bij het oplossen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: Taylorreeks

Xilvo schreef:Dank. Ik weet niet wat in deze context 'voldoende glad' is maar een functie waarvan bij x=0 de n-de afgeleide (n!)2 is zal zeker niet bijzonder glad zijn  ;)
 
Toch wel, blijkbaar: C. Tenzij je "buikgevoel glad" en niet "wiskundig glad" bedoelt ;).
 
 
Xilvo schreef:Het woordje 'Taylorreeks' in de opgave biedt verder ook geen informatie waar de student iets aan heeft bij het oplossen.
 
Akkoord, vandaar dat ik ook al aangaf dat het volgens mij niet zo bedoeld is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.766

Re: Taylorreeks

TD schreef:  
Toch wel, blijkbaar: C. Tenzij je "buikgevoel glad" en niet "wiskundig glad" bedoelt ;).
 
Inderdaad  ;)

Reageer