Wetenschapsforum

TD schreef:  
Je mag het kenmerk wel toepassen, maar je moet dat goed doen: let op dat je x en n niet (een paar keer) verwisselt...
 
Je krijgt dus:
 

\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;x^{n+1}}{n!\;x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left| (n+1)\;x}\right|\)

 
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
 
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.

Xilvo schreef: Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.

TD schreef:  
Je mag het kenmerk wel toepassen, maar je moet dat goed doen: let op dat je x en n niet (een paar keer) verwisselt...
 
Je krijgt dus:
 

\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;x^{n+1}}{n!\;x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left| (n+1)\;x}\right|\)

 
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
 
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.

Xilvo schreef: @TD
 
Als ik me goed herinner ben jij een 'officiële' wiskundige.
 
 
Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.

Professor Puntje schreef: Een vergelijkbare reeks is onderzocht door Euler. Zie: https://archive.org/details/DivergentSeries/page/n41

Xilvo schreef:Vraag: mag je dit eigenlijk wel een Taylorreeks noemen? Ik kan me geen functie bedenken waar dit een Taylorreeks voor zou kunnen zijn.

 

Geen idee van welke functie dit de Taylorreeks is / zou zijn; het lijkt me veiliger om gewoon van een machtreeks te spreken: ik vermoed zelfs dat dat ook bedoeld wordt.

 

tempelier schreef:Ik ken dit archief wel, maar wist niet dat er dit soort boeken op stonden.

Ik haal daar veel oude films van af zoals Frankenstein met Boris Karlof.

TD schreef: Aanvulling: kennelijk wel en sterker nog, elke machtreeks (met reële coëfficiënten) is de Taylorreeks van een (voldoende gladde) functie.
 
Ik denk echter nog steeds dat het in de context van deze opgave niet de bedoeling was om de reeksen te zien als Taylorreeksen van een bepaalde functie, maar enkel om het convergentiegebied van de machtreeksen als dusdanig te bepalen.

Xilvo schreef:Dank. Ik weet niet wat in deze context 'voldoende glad' is maar een functie waarvan bij x=0 de n-de afgeleide (n!)² is zal zeker niet bijzonder glad zijn 

Xilvo schreef:Het woordje 'Taylorreeks' in de opgave biedt verder ook geen informatie waar de student iets aan heeft bij het oplossen.

TD schreef:  
Toch wel, blijkbaar: C^∞. Tenzij je "buikgevoel glad" en niet "wiskundig glad" bedoelt .