[wiskunde] Stelling Weierstrass

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 93

[wiskunde] Stelling Weierstrass

Beste mensen,

Stelling van Weierstrass zegt dat als een functie continu is in een gesloten interval dan bereikt de functie in dat interval minstens 1 keer haar minimum en maximum.
Maar de identieke functie bijvoorbeeld bereikt toch zijn max en min niet in [1,4] maar toch is die continu in dit interval? of is hierbij dan 4 en 1 de respectievelijke maximum en minimum? Bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.497

Re: [wiskunde] Stelling Weierstrass

Neem er de definitie van min en max even bij: voor de functie uit je voorbeeld geldt f(1) = 1 en voor alle andere x in [1,4] geldt f(x) ≥ 1; analoog voor 4. Dus?

Let goed op de niet-strikte ongelijkheid, ook een constante functie bereikt...

Je denkfout zit misschien in de veronderstelling dat een extremum niet in een randpunt van het domein bereikt kan worden, maar dat kan natuurlijk wel; denk bv. nog aan het minimum van y = sqrt(x), of van eender welke monotone functie.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.633

Re: [wiskunde] Stelling Weierstrass

Met 'maximum' bedoelen ze het maximum van de functie op dat interval. Dus inderdaad, het minimum en het maximum worden respectievelijk aangenomen op 1 en op 4.

Op eerste gezicht lijkt de stelling daarom misschien triviaal, maar bedenk je dat als het interval een open interval was geweest, bijvoorbeeld (1,4) dan zou de functie nergens een minimum of een maximum aannemen, want 1 en 4 zitten niet in dat interval.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.724

Re: [wiskunde] Stelling Weierstrass

JenderOpa schreef:
za 15 jun 2019, 01:19
Beste mensen,

Stelling van Weierstrass zegt dat als een functie continu is in een gesloten interval dan bereikt de functie in dat interval minstens 1 keer haar minimum en maximum.
Maar de identieke functie bijvoorbeeld bereikt toch zijn max en min niet in [1,4] maar toch is die continu in dit interval? of is hierbij dan 4 en 1 de respectievelijke maximum en minimum? Bedankt.
Een functie bereikt op zijn definitie gebied altijd zijn maxima (als ze er zijn), dat zit in de definitie van maximum.
(dit in tegen stelling tot een supremum)
Het is dus beter te stellen dat zo'n functie op een gesloten interval tenminste één maximum heeft.

Reageer