[wiskunde] gsm-masten

[SlimmeRick]

In een vierkant land met oppervlakte 10 000 km^2 wil telecomoperator
Telemus gsm-masten plaatsen met een bereik van 50 km. Hoeveel masten
moet hij minstens plaatsen om zeker het hele gebied te dekken?
Ik dacht 2, maar het juiste antwoord is 3.

Waarom dacht ik 2?
Oppervlakte vierkant= 10 000 km^2
Oppervlakte van 1 bereik= 50 * 50 * pi
en 2 *(50 * 50 * pi)>10 000
dus hebben 2 gsm-masten al meer dan het oppervlakte van de vierkant bereikt.

[tempelier]

Rekenen met oppervlakten heeft weinig zin door de overlaps.

Teken het eens en neem een hoekpunt hoe ver kan dan de zender maximaal staan?

[SlimmeRick]

Rekenen met oppervlakten heeft weinig zin door de overlaps.

Teken het eens en neem een hoekpunt hoe ver kan dan de zender maximaal staan?

50km?

[tempelier]

Ik heb een basisschool oplossing. (dat zal wel niet de bedoeling zijn )

Maak de tekening en knip ook een paar rondje van het bereik van de zenders op schaal en je kunt gewoon passen.

----------------------------------

Ja op 50km wel is het bereik van uit het hoekpunt gezien 100km.
Bedenk dat er vier hoekpunten zijn die ontvangst moeten hebben.

[RedCat]

Met 3 masten kom ik uit op bovenstaande optimale configuratie.
Maar dan is r > 50, want anders stond de bovenste mast op het vierkant.
Hierboven is

\(r = 6.25 \sqrt{65} \approx 50.38911\)

Weten jullie zeker dat het mogelijk is met 3 masten?
En zo ja, hoe ziet de opstelling van de masten er dan uit?

[Benm]

Je kunt er op meerdere manieren tegen aan kijken. 2 gaat sowieso niet werken: Als je een diagonaal neemt van 100x100 km vierkant land is dat pakweg 141 kilometer. Dat kun je dekken met 2 masten, maar dan houd je de andere 2 hoeken onbedekt.

Eigenlijk zou ik denken dat je er 4 nodig hebt in deze situatie, maar wellicht is er een of andere geometrie met 3 masten die het ook redt... maar erg inuitief is het niet.

Bovenstaand diagram dekt de hoekjes links en rechts boven net niet - de zendmast staat een stukje landinwaards dus is de afstand tot de hoe > 50 km.

[ukster]

Even wat anders. Nederland heeft een oppervlakte van 41543km²
De door jou genoemde oppervlakte is ongeveer ¼ daarvan.
In totaal zijn er 47.086 antenne-installaties voor mobiele communicatie in Nederland.
Antennedichtheid is dus 1,13 antenne/km² = 11334 antenne-installaties/10⁴km²
Straling cumuleert ook nog eens. Wat zijn de inmiddels de risico’s voor de gezondheid van mens en dier?

[tempelier]

De vragensteller zegt dat het met drie kan ik heb dat niet nagegaan.

Ik stuurde op het volgende aan:
Er moet tenminste een cirkel zijn die twee aanligende hoeken dekt.
Meest voor de hand liggende is dan een zendmast op het midden van een zijde.

[RedCat]

@Benm:
Ik ben inderdaad op zoek naar die "een of andere geometrie" van 3 masten, die volgens "het juiste antwoord is 3" zou bestaan.
Het probleem heb ik vertaald naar: wat is de minimale straal r van 3 gelijke cirkels die het 100x100 vierkant overdekken.
Maar ik krijg r niet kleiner dan de 50.38911, zoals getekend in het plaatje...

[Benm]

Ik reken er niet eens aan, althans niet in ze in van oppervlakte: dit zou je met een passer moeten kunnen oplossen, maar ik zie echt geen opstelling met 3 masten waarbij je alles dekt.

[RedCat]

Te veel afgeleid door "het juiste antwoord is 3"...
Dat kan helemaal niet:

Er zijn 4 hoekpunten, dus er moet minstens één gsmmast zijn die 2 hoekpunten afdekt, en die mast ligt dan op een zijde van het vierkant.
In het geval dat de andere 2 cirkels elk 1 van de 2 vrije hoekpunten afdekken:
Kijk naar de eerste cirkel.
Met r=50 is er altijd een punt, onbeperkt dicht nabij een afgedekte hoek, binnen het vierkant maar buiten de eerste cirkel, dat door een andere cirkel afgedekt moet worden.
Maar die andere cirkel moet ook nog een vrij hoekpunt afdekken, en moet dus ook op een zijde liggen.
Dit zelfde geldt voor de laatste hoek en de derde cirkel, waardoor het vierkant niet volledig afgedekt kan worden.

In het geval 2 cirkels de 4 hoekpunten afdekken, dan kan de derde cirkel ook nooit het resterende gebied overdekken.

Conclusie: het juiste antwoord is 4.

[Benm]

Dat lijkt me inderdaad ook - je kunt ermee schuiven wat je wilt, en voor zover ik zie vrijwel 100% bedekken, maar er blijft altijd een heel klein stukje onbedekt. In de best mogelijke configuratie ziet het eruit alsof je wel >99% van het oppervlak kunt dekken, maar net een randje/hoekje tekort komt.

Ik zeg dus ook 4, tenzij je tevreden bent met een dekkingsgraad van 99% of iets dergelijks. De vraag is overigens wel wat het best mogelijke resultaat met 3 is, het lijkt bijna een limiet aan 100% te zijn afhankelijk van geometrie, maar m.i. kom je daar nooit...

Overigens lukt het wel alle 4 de hoekpunten af te dekken, maar dan blijft er aan 1 zijkant een heel klein stukje onbedekt - frustrerende puzzel.

[Back2Basics]

Ik heb er niet aan gerekend, maar het zou misschien wel mogelijk zijn wanneer je bij beschouwing van het vierkante stuk land, rekening houdt met de kromming van de aarde? 100 km is ruim 0,9 graad

[Benm]

Het zou kunnen - de kromming van de aarde is wat fundamenteel het bereik van zendmasten in deze orde grootte beperkt.

De opgave zegt er echter niets over - ook niet over hoe hoog die masten zijn, en of dat 50 km bereik -in- het vlak ligt, of van de top van de mast tot de grond.

Zonder die context is het een tamelijk wiskundig vraagstuk: kun je een vierkant van 100x100 afdekken met 3 cirkels met een straal van 50. Vooralsnog lijkt het antwoord -net- niet.

[tempelier]

Ik heb er niet aan gerekend, maar het zou misschien wel mogelijk zijn wanneer je bij beschouwing van het vierkante stuk land, rekening houdt met de kromming van de aarde? 100 km is ruim 0,9 graad

Dat lijkt me niet.

Al was het maar dat men op een bol geen vierkanten kent.
( de som van de vierhoeken is daar groter dan 360^o )