[wiskunde] determinant

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.473

[wiskunde] determinant

P=[aij] (3x3 matrix) , Det (P)=2
Q=[bij] met bij=2i+j aij voor 1≤i,j≤3
Det (Q): a) 210 b) 211 c) 212 d) 213

antw. d?

Berichten: 649

Re: [wiskunde] determinant

Stel we kijken alleen naar de hoofddiagonaal:
2^(1+1)*2^(2+2)*2^(3+3) = 2^12

Gebruikersavatar
Berichten: 2.473

Re: [wiskunde] determinant

Ja, en dan det(Q)=212det(P) =213

Berichten: 649

Re: [wiskunde] determinant

Ja klinkt logisch

Gebruikersavatar
Berichten: 2.473

Re: [wiskunde] determinant

Ik heb per kolom de factoren 2 eruit gehaald totdat Det (P) verschijnt.
determinant.png
determinant.png (8.64 KiB) 909 keer bekeken
Jouw diagonaal aanpak werkt een stuk sneller.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.603

Re: [wiskunde] determinant

Ik werk maar zelden met determinanten. Op welke rekenregel berust die diagonaal aanpak?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.473

Re: [wiskunde] determinant

Zoals je kunt zien in mijn uitwerking wordt uiteindelijk determinant Q verkregen door determinant (P) te vermenigvuldigen met de factor 212 (alles volgens de regels).
Inderdaad blijkt 212 overeen te komen met de diagonaalproducten van determinant (Q)
Ik heb niet uitgezocht of dit een algemeen geldende regel is of alleen geldig voor dit specifieke probleem!

Berichten: 146

Re: [wiskunde] determinant

Algemener:
De formule voor de determinant van een 3x3 matrix vind je hier:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Determina ... 973-matrix

Vermenigvuldig nu ieder element van de matrix met een factor
\(c^{f(i)+g(j)} = c^{f(i)}\cdot c^{g(j)}\)
waarbij c een constante, f(i) een functie van i, en g(j) een functie van j is.

Elk van de 6 termen van de determinant wordt dan vermenigvuldigd met een factor
\(c^{f(1)} \cdot c^{f(2)} \cdot c^{f(3)} \cdot c^{g(1)} \cdot c^{g(2)}\cdot c^{g(3)}\)
\(= c^{f(1)+f(2)+f(3)+g(1)+g(2)+g(3)}\)
omdat in elke term index i precies alle waarden 1 t/m 3 doorloopt en ook index j precies alle waarden 1 t/m 3 doorloopt.

De oorspronkelijke determinant wordt dan dus ook met deze factor vermenigvuldigd.

In dit voorbeeld is:
\(f(i) = i\)
\(g(j) = j\)
\(c = 2\)
dus is de vermenigvuldigingsfactor van de determinant hier:
\(2^1\cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^1\cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{12}\)

Berichten: 649

Re: [wiskunde] determinant

Professor Puntje schreef:
vr 05 jun 2020, 11:35
Ik werk maar zelden met determinanten. Op welke rekenregel berust die diagonaal aanpak?
Op feit A en aanname B
A)
De determinant van een matrix met waarden <>0 op de hoofddiagonaal en alle andere waarden 0, is het product van de waarden op deze hoofddiagonaal. Dit is “algeheel bekend” en makkelijk uit te schrijven voor een 2x2 of 3x3 matrix.
B)
De opgave impliceert dat deze verhouding voor alle matrices geldt, dus ook voor de matrix uit A) :)

Reageer