[wiskunde] Combinatoriek
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 206
[wiskunde] Combinatoriek
Een voetbalwedstrijd eindigt met de uitslag 5-3, terwijl de tussenstand bij de rust 3-2
was. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er voor de volledige wedstrijd?
Kan iemand me alstublieft uitleggen hoe ik deze opgave met formules kan oplossen?
Alvast bedankt.
was. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er voor de volledige wedstrijd?
Kan iemand me alstublieft uitleggen hoe ik deze opgave met formules kan oplossen?
Alvast bedankt.
-
- Berichten: 463
Re: [wiskunde] Combinatoriek
Kijk eerst naar de situatie vóór de rust.
Er worden vóór de rust in totaal 5 doelpunten gemaakt.
Als T een doelpunt voor de thuisploeg is, en U voor de uitploeg, dan kunnen we het scoreverloop weergeven door 5 letters, waarvan 3 T's en 2 U's.
Bijvoorbeeld:
T-U-U-T-T
Dat wil zeggen: eerst scoort de thuisploeg, dan scoort de uitploeg 2 keer achter elkaar, vervolgens scoort de thuisploeg 2 keer achter elkaar.
Het scoreverloop is dan: 1-0, 1-1, 1-2, 2-2, 3-2
Elk van die T-U rijtjes levert zo precies 1 scoreverloop (= volgorde van doelpunten).
Hoeveel verschillende van die rijtjes van 5 letters met 3 T's en 2 U's erin zijn er?
En hoe zit het voor de tweede helft?
En hoeveel scoreverlopen zijn er dus in totaal voor de gehele wedstrijd?
Er worden vóór de rust in totaal 5 doelpunten gemaakt.
Als T een doelpunt voor de thuisploeg is, en U voor de uitploeg, dan kunnen we het scoreverloop weergeven door 5 letters, waarvan 3 T's en 2 U's.
Bijvoorbeeld:
T-U-U-T-T
Dat wil zeggen: eerst scoort de thuisploeg, dan scoort de uitploeg 2 keer achter elkaar, vervolgens scoort de thuisploeg 2 keer achter elkaar.
Het scoreverloop is dan: 1-0, 1-1, 1-2, 2-2, 3-2
Elk van die T-U rijtjes levert zo precies 1 scoreverloop (= volgorde van doelpunten).
Hoeveel verschillende van die rijtjes van 5 letters met 3 T's en 2 U's erin zijn er?
En hoe zit het voor de tweede helft?
En hoeveel scoreverlopen zijn er dus in totaal voor de gehele wedstrijd?
-
- Berichten: 206
Re: [wiskunde] Combinatoriek
Bedankt voor uw antwoord!
Ik ga hier te werk zoals bij een anagram:
Scoreverlopen eerste helft:
5!/(3!*2!)=10
Scoreverlopen tweede helft:
3!/(2!*1!)=3
Dus: Aantal scoreverlopen voor de gehele wedstrijd=10*3=30?
Ik ga hier te werk zoals bij een anagram:
Scoreverlopen eerste helft:
5!/(3!*2!)=10
Scoreverlopen tweede helft:
3!/(2!*1!)=3
Dus: Aantal scoreverlopen voor de gehele wedstrijd=10*3=30?
-
- Berichten: 463
Re: [wiskunde] Combinatoriek
Klopt.
Voor de eerste helft kies je 2 posities uit de 5 mogelijke posities om de twee U's te plaatsen, daarvoor zijn
Voor de tweede helft kies je 1 positie uit de 3 mogelijke posities om de U te plaatsen, daarvoor zijn
In totaal dus 10 * 3 = 30 mogelijke scoreverlopen.
Voor de eerste helft kies je 2 posities uit de 5 mogelijke posities om de twee U's te plaatsen, daarvoor zijn
\({5 \choose 2} = \frac{5!}{3!\cdot 2!} = 10\)
mogelijkheden.Voor de tweede helft kies je 1 positie uit de 3 mogelijke posities om de U te plaatsen, daarvoor zijn
\({3 \choose 1} = \frac{3!}{2!\cdot 1!} = 3\)
mogelijkheden.In totaal dus 10 * 3 = 30 mogelijke scoreverlopen.