[wiskunde] Asymptoten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 206

[wiskunde] Asymptoten

g(x)= 2x + √(4x^2 -12x +5)

Deze functie kent geen asymptoten, toch? En eigenlijk heeft geen enkele irrationale functie zonder een breuk met een variabele in de noemer asymptoten?

Alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 232

Re: [wiskunde] Asymptoten

Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
En waaraan als x naar +oneindig gaat?

Berichten: 206

Re: [wiskunde] Asymptoten

Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Ja, maar ik wil het eigenlijk zonder grafiek aantonen.

Waaraan nadert g(x) als x naar +oneindig gaat?
+oneindig

Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
Ik weet eigenlijk niet hoe ik dat kan aantonen aan de hand van het voorschrift. Ik kom "-oneindig + +oneindig" uit...

Gebruikersavatar
Berichten: 2.904

Re: [wiskunde] Asymptoten

SlimmeRick schreef: di 15 sep 2020, 13:18 Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Ja, maar ik wil het eigenlijk zonder grafiek aantonen.
Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
Ik weet eigenlijk niet hoe ik dat kan aantonen aan de hand van het voorschrift. Ik kom "-oneindig + +oneindig" uit...
dat wordt ongetwijfeld een hele klus! :D
Als het je lukt ,petje af!

Berichten: 232

Re: [wiskunde] Asymptoten

Splits onder de wortel het kwadraat af:
\(g(x)= 2x + \sqrt{4x^2 -12x +5}\)
\(=2x + \sqrt{(2x - 3)^2 -9 + 5)} \)
\(=2x + \sqrt{(2x - 3)^2 - 4} \)
Als x naar oneindig gaat, dan wordt onder de wortel (2x-3)^2 veel groter dan -4, en kunnen we die -4 verwaarlozen:
\(\sqrt{(2x-3)^2 - 4} \approx \sqrt{(2x-3)^2}\)
Voor hele grote x nadert de wortel dus naar
\(\sqrt{(2x-3)^2}\)
Waarnaar (=naar welke functie) nadert de functie g(x) dan voor hele grote x?

En hoe zit het als x naar -oneindig gaat?

Berichten: 206

Re: [wiskunde] Asymptoten

Bedankt voor jullie antwoorden!

@RedCat Maar als x naar -oneindig gaat dan hebben we nog steeds 2*(-oneindig) + (+oneindig)?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.904

Re: [wiskunde] Asymptoten

Vul eens in x= -1000
je rekenmachine geeft + 2,999001
dus 3 is het resultaat in de limit (x→ -∞)
Je wil er vast niet aan denken deze limietwaarde te moeten berekenen met behulp van het herschrijven van de expressie en het toepassen van allerlei limietregels.

Berichten: 232

Re: [wiskunde] Asymptoten

Het kan zonder rekenmachine.
Uit mijn eerdere post volgt dat voor hele grote x de functie
\(g(x)= 2x + \sqrt{4x^2 -12x +5}\)
nadert naar
\(f(x)= 2x + \sqrt{(2x-3)^2}\)
En omdat voor een getal a > 0 geldt dat
\(\sqrt{a^2} = a\)
wordt f(x) voor x naar oneindig
\(f(x)= 2x + (2x-3) = 4x - 3\)
Dus voor x naar oneindig nadert g(x) naar de lijn
\(y = 4x-3\)

Evenzo voor x naar min oneindig, alleen is voor sterk negatieve a (dus ook a naar min oneindig):
\(\sqrt{a^2} = -a\)
Op welke asymptoot kom je dan uit?

Berichten: 206

Re: [wiskunde] Asymptoten

Ik snap het!
Ontzettend bedankt!

Reageer