Dit is volgens mij niet waar.SlimmeRick schreef: ↑vr 16 okt 2020, 18:29Echter, bovenaan is te zien dat zowel φ als ¬φ moeten afgeleid worden uit eenzelfde ψ.
Je kunt dit volgens mij zien als vier afzonderlijke gevallen:
1. Uit \(\Sigma\) is \(\phi\) afleidbaar en uit \(\Phi\) is \(\neg{\phi}\) afleidbaar. \(\Sigma, \Phi\) bevat dus een contradictie, dus daar is alles uit te concluderen, zo ook \(\neg{\psi}\) in \(\Sigma, \Phi\)
2. Uit \(\Sigma\) is \(\phi\) niet afleidbaar en uit \(\Phi\) is \(\neg{\phi}\) afleidbaar. Uit \(\Sigma, \psi\) is \(\phi\) wel afleidbaar. De aanname \(\psi\) leidt dus tot een contradictie en daaruit volgt dus \(\neg{\psi}\) in \(\Sigma, \Phi\).
3. Uit \(\Sigma\) is \(\phi\) afleidbaar en uit \(\Phi\) is \(\neg{\phi}\) niet afleidbaar. Uit \(\Phi, \psi\) is \(\neg{\phi}\) wel afleidbaar. De aanname \(\psi\) leidt dus tot een contradictie en daaruit volgt dus \(\neg{\psi}\) in \(\Sigma, \Phi\).
4. Uit \(\Sigma\) is \(\phi\) niet afleidbaar en uit \(\Phi\) is \(\neg{\phi}\) niet afleidbaar. Uit \(\Sigma, \psi\) is \(\phi\) wel afleidbaar. Uit \(\Phi, \psi\) is \(\neg{\phi}\) wel afleidbaar. De aanname \(\psi\) leidt dus tot een contradictie en daaruit volgt dus \(\neg{\psi}\) in \(\Sigma, \Phi\).
Alleen in geval vier is \(\psi\) zowel links als rechts nodig. In de andere gevallen niet. De bewering dat \(\phi\) en \(\neg{\phi}\) moeten worden afgeleid uit eenzelfde \(\psi\) is dus onwaar.
