[wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 2
[wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Hoi allen,
Sinds kort ben ik bezig met het opfrissen van mijn wiskundekennis, dus heb ik er sinds jaren (en jaren en jaren) weer een wiskundeboek bij gepakt. Nu ben ik bezig met de volgende vraag:
De vergelijking x^2 + px + 1 = 0 heeft één oplossing. Bereken p en de bijbehorende oplossing.
Nu is mijn probleem dat ik uit kom op twee grafieken (dus ook twee oplossingen), wat in tegenspraak lijkt met de opgave. In de bijlage mijn uitwerking.
Kan iemand mij wijzer maken? Alvast bedankt!
Sinds kort ben ik bezig met het opfrissen van mijn wiskundekennis, dus heb ik er sinds jaren (en jaren en jaren) weer een wiskundeboek bij gepakt. Nu ben ik bezig met de volgende vraag:
De vergelijking x^2 + px + 1 = 0 heeft één oplossing. Bereken p en de bijbehorende oplossing.
Nu is mijn probleem dat ik uit kom op twee grafieken (dus ook twee oplossingen), wat in tegenspraak lijkt met de opgave. In de bijlage mijn uitwerking.
Kan iemand mij wijzer maken? Alvast bedankt!
- Moderator
- Berichten: 9.937
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Volgens mij is jouw oplossing helemaal correct.
- Berichten: 2.906
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
De vraag is wat verwarrend omdat het woord 'oplossing' op twee manieren kan worden gebruikt:
De oplossing van het vraagstuk is een waarde van p.
De oplossing van de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 is een waarde van x.
Het vraagstuk wat je hebt opgelost heeft inderdaad twee oplossingen: p=2 en p=-2.
Maar voor beide waarden van p heeft de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 exact één oplossing. Voor p=2 is x=-1 de unieke oplossing, en voor p=-2 is x=1 de unieke oplossing.
De oplossing van het vraagstuk is een waarde van p.
De oplossing van de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 is een waarde van x.
Het vraagstuk wat je hebt opgelost heeft inderdaad twee oplossingen: p=2 en p=-2.
Maar voor beide waarden van p heeft de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 exact één oplossing. Voor p=2 is x=-1 de unieke oplossing, en voor p=-2 is x=1 de unieke oplossing.
- Berichten: 2
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Gelukkig! Ik was even bang dat ik zelf iets over het hoofd zag. Ik heb al het uitwerkingenboek besteld, maar ik kon het in de tussentijd niet loslaten
Allebei bedankt voor het meekijken!
Allebei bedankt voor het meekijken!
- Berichten: 4.320
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Er is iet naars met de vraagstelling.
Formeel is het zo dat als er twee verschillende oplossingen zijn de vergelijking er ook één heeft.
Het is verwant aan het probleem met de leugendetector die direct reageert met:
1. waar.
2. niet waar.
Iemand heeft vijftig losse euro's op zak.
Hij zegt nu ik heb één euro op zak.
De detector geeft nu dat hij de waarheid spreekt.
De meeste mensen zullen er nu ten onrechte uit concluderen dat hij precies één gulden op zak heeft.
--------------------------
Natuurlijk hebben de opstellers van het vraagstukje dat niet zo bedoeld, maar ja het is wel wiskunde dus.......
Formeel is het zo dat als er twee verschillende oplossingen zijn de vergelijking er ook één heeft.
Het is verwant aan het probleem met de leugendetector die direct reageert met:
1. waar.
2. niet waar.
Iemand heeft vijftig losse euro's op zak.
Hij zegt nu ik heb één euro op zak.
De detector geeft nu dat hij de waarheid spreekt.
De meeste mensen zullen er nu ten onrechte uit concluderen dat hij precies één gulden op zak heeft.
--------------------------
Natuurlijk hebben de opstellers van het vraagstukje dat niet zo bedoeld, maar ja het is wel wiskunde dus.......
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Algemeen geldt dat de vergelijking ax²+bx+c = 0 precies 1 oplossing heeft als b²-4ac = 0. We noemen de waarde b²-4ac de discriminant D. Voor D>0 zijn er 2 oplossingen, die gegeven worden door de abc-formule. Voor D<0 zijn er 0 oplossingen.
Een andere aanpak is dat je een kwadraat afsplitst, Er geldt namelijk dat x²+px+1 = x²+2⋅½px+¼p²+1-¼p²
= (x+½p)²+1-¼p².
Uit x²+px+1 = 0 volgt dan dat (x+½p)²+1-¼p²= 0, ofwel (x+½p)² = ¼p²-1. Wil deze vergelijking 1 oplossing hebben, dan moet ¼p²-1 gelijk aan nul zijn, dus x = -½p is dan de oplossing. Uit ¼p²-1 = 0 volgt: ¼p² = 1, dus p² = 4,
dus p = 2 en x =-1 of p = -2 en x = 1.
Een andere aanpak is dat je een kwadraat afsplitst, Er geldt namelijk dat x²+px+1 = x²+2⋅½px+¼p²+1-¼p²
= (x+½p)²+1-¼p².
Uit x²+px+1 = 0 volgt dan dat (x+½p)²+1-¼p²= 0, ofwel (x+½p)² = ¼p²-1. Wil deze vergelijking 1 oplossing hebben, dan moet ¼p²-1 gelijk aan nul zijn, dus x = -½p is dan de oplossing. Uit ¼p²-1 = 0 volgt: ¼p² = 1, dus p² = 4,
dus p = 2 en x =-1 of p = -2 en x = 1.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
- Moderator
- Berichten: 9.937
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Dat is waar. Maar taal is niet zo eenduidig als wiskunde, dan zouden we in veel gevallen geen wiskunde nodig hebben.
De betekenis van een zin hangt van de context af, "Ik zag het meisje met de verrekijker" kan ook meerdere betekenissen hebben. Welke bedoeld wordt, wordt pas duidelijk door het verhaal er omheen.
Als voor een tweedegraads vergelijking, die twee, één of geen reële oplossingen heeft wordt gezegd dat de vergelijking één oplossing heeft dan wordt onmiskenbaar bedoeld dat er maar één oplossing is.
- Berichten: 2.906
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Maar daar ging het niet over. Het ging over hoeveel oplossingen de vraag heeft (en niet om hoeveel oplossingen de gegeven vergelijking heeft). De vraag zegt alleen maar "bereken p" en dat zou men kunnen opvatten als "bereken de enige p", wat dus niet de juiste interpretatie is.
- Moderator
- Berichten: 9.937
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Ik heb het over de eerste keer dat het woord "oplossing" wordt gebruikt, de oplossing van de polynoom.
Dat de tweede keer over "de oplossing" wordt gesproken, de waarde voor p, is inderdaad niet juist.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: [wiskunde] tweedegraadsvergelijking met parameter
Dan heb je niet goed gelezen. Er staat "Bereken p en de bijbehorende oplossing." Er worden dus 2 dingen gevraagd: de waarde(n) van p waarvoor de vergelijking 1 oplossing heeft, en de bij die waarde(n) van p behorende oplossing van de vergelijking.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel