Wetenschapsforum

Dag allemaal

Ik heb een vraag over de volgende opgave.

Gegeven: x =sin(3t + pi/2) en y= 2*sin(2t).

Wat is de periode van de kromme? (is 2pi)
Bepaal de snijpunten met de x-as en y-as. (Dit is mij gelukt)

Een bijkomende vraag die ik mij stel is: Wat zijn de coördinaten van die vier punten waarbij de kromme zichzelf snijdt (In elk quadrant is er zo één punt) Ik weet ook dat de kromme binnen een periode 2pi twee maal elk snijpunt met y-as snijdt, maar deze punten weet ik al. Hieronder een screenshot van de kromme om te verduidelijken welke punten (rood) ik bedoel.
Ik dacht te starten bij: x1 = x2 en y1 = y2
Hieruit dan: cos(3t1) = cos(3t2) en 2sin(t1)*cos(t1) = 2sin(t2)*cos(t2)

Hoe ga ik hier best verder?


Groetjes


Valerion

Bepaal de periode van x en y apart en combineer die.

De periode van x = 2pi/3 en de periode van y = pi
De periode van kromme is 2pi

Valerion schreef: ↑ma 19 apr 2021, 09:30 De periode van x = 2pi/3 en de periode van y = pi
De periode van kromme is 2pi

Klopt, maar wat is eigenlijk je probleem?

PS.

Gezien de vraagstelling kun je ook vals spelen als je het antwoord niet kunt vinden.
Je kunt een veilige waarde opgeven bv: 120π
Formeel is dat ook goed, want er wordt niet naar de kortste periode gevraagd.

In mijn eerste bericht heb ik een foto toegevoegd van de parameterkromme. Ik zou graag de coördinaten bepalen van de vier rode punten die ik op de foto heb aangeduid.

Dat loopt via twee vergelijkingen met 2 onbekenden.

Dus weer t1 en t2.

Zo gemakkelijk vind ik het oplossen toch niet. Ik dacht te starten bij: x1 = x2 en y1 = y2
Hieruit dan: cos(3t1) = cos(3t2) en 2sin(t1)*cos(t1) = 2sin(t2)*cos(t2)

Maar wat nu? cos(3t1) en cos(3t2) herschrijven als termen van t1 en t2? (Al die trig identiteiten ken ik niet vanbuiten, dus als het met een omweg kan, graag!)

Hoe kom je aan die cosinus?
Beide van de parameter voorstellingen zijn toch sinusen.?

Waar is de periode gebleven?

voor x komt er iets van:

sin(t₁+π/2+(.....)*k1*(.......) = sin(t₂+π/2+(.....)*k2*(.......)

hier is van te maken:

t₁-t₂= .........

Bedenk dat k₁ en k₂ slechts een beperkt aantal (zinvolle) waarden kunnen aannemen.

Enkele oplossingen gegenereerd door Wolfram :

tempelier schreef: ↑ma 19 apr 2021, 11:45 Hoe kom je aan die cosinus?
Beide van de parameter voorstellingen zijn toch sinusen.?

Waar is de periode gebleven?

x = sin(3t + pi/2) = cos(3t)

y = 2sin(2t) = 2sin(t)*cos(t)

Ik vond het zo gemakkelijker, bij het oplossen van de oefening. Maar voor mijn bijkomende vraag is dat wellicht niet zo handig?

tempelier schreef: ↑ma 19 apr 2021, 11:45
voor x komt er iets van:

sin(t₁+π/2+(.....)*k1*(.......) = sin(t₂+π/2+(.....)*k2*(.......)

hier is van te maken:

t₁-t₂= .........

Bedenk dat k₁ en k₂ slechts een beperkt aantal (zinvolle) waarden kunnen aannemen.

Dit gaat me wat te vlug. Waarom kom je tot " sin(t₁+π/2+(.....)*k1*(.......) = sin(t₂+π/2+(.....)*k2*(.......) "

De stippeltjes zijn bedoeld om in te vullen.
Dat moet zo gebeuren dat er aan de perioden wordt recht gedaan.

Dus dit:

sin x = sin y
dan x=y+2kπ

Wordt het dan voor x:

sin(t₁+π/2+2*k₁/3) = sin(t₂+π/2+2*k₂/3) ofwel sin(t1+2*k₁/3) = sin(t₂+2*k₂/3)

En voor y:

sin(t₁ + k₁*π) = sin(t₂+k₂*π)

Ja maar bedenk dat de k's bekend zijn.
Of beter is maar een beperkt aantal k's die het invullen waard zijn.
Kijk hiervoor goed naar de periode.

Bedenk ook dat er nog een tweede serie is.
sin(x)=sin(pi-x)

Naar welke periode moeten ik kijken? Die van X, Y of van de kromme?

Voor x: periode is 2*pi/3
Voor y: periode is pi
Voor de kromme: periode is 2pi