[wiskunde] complexe oplossing?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 768

[wiskunde] complexe oplossing?

Is er een complexe oplossing voor x in 1^x=3
iemand beweerde dat de oplossing x= -i*ln(3)/(2k*pi) is, maar ik zie niet hoe je tot die oplossing komt. Iemand een idee?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.670

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

Het getal 1 tot welke macht dan ook zal altijd 1 opleveren.
Neem je van beide kanten de logaritme, dan krijg je \(x\cdot \ln{1}=x \cdot 0=\ln{3}\)
Er is geen x die daar aan voldoet.
Weet je zeker dat die iemand het over dit vraagstuk had?

Gebruikersavatar
Berichten: 333

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

Het zou wel eens kunnen dat die iemand deze video heeft gezien:


Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

oh ja hoor. Het was zelfs een 'groepsexpert' :lol:

Bedankt, dat lijnt op met wat ik dacht!
2024-02-02 17_39_17-Differential and Integral Calculus _ Please solve for x _ Facebook and 44 more p.jpg

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

irArjan schreef: vr 02 feb 2024, 17:41 Het zou wel eens kunnen dat die iemand deze video heeft gezien:
Bedankt Arjan. Maar ik vraag me af of dit nu een geldige oplossing is. Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.

Gebruikersavatar
Berichten: 333

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

Daarvoor weet ik te weinig van wiskunde af 🤔

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

De youtuber neemt links en rechts de 1 log van \(1^x = 2\).Links laat hij die nul vallen met de rekenregel \(^1log1^x = x\). Dat is dubieus want je kan evengoed zeggen \(^1log1^x = 335\), immers \(1^{335}\) is ook gelijk aan \(1^x\).

De functie \(a^z\) is in de complexe functie leer niet injectief. Dit betekent dat verschillende waarden niet op een verschillende waarde afgebeeld worden. Dit houdt in dat je verschillende branches hebt wanneer je gaat inverteren. Het probleem is vergelijkbaar met de inverse functie van een sinus. Dat is ook pas gedefineerd als je het domein gaat beperken. In de complexe functieleer kan je ook jezelf gaan beperken tot één branche. Hij kiest voor een branche waarbij log(1) niet gelijk is aan nul, maar aan \(i2n\pi\).

Wat er in de grond gebeurt, is dat er links en rechts verschillende branches vermengd worden en dat lijkt tot onzinnige resultaten.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

Eigenlijk is het nog eenvoudiger verwoord door te stellen dat \(1^x\) gelijk is aan 1 voor alle waarden van x, dus deze functie is niet op een echt zinnige manier inverteerbaar te maken. Bijgevolg heeft de \(^1\log\) weinig betekenis. Als je spiegelt over de eerste bissectrice om te inverteren, krijg je een vertikale lijn en dat is geen functie.

Berichten: 461

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

dannypje schreef: vr 02 feb 2024, 18:09 Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.
Een oneindige reeks kan een eindig resultaat opleveren (= de limietwaarde), zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics) (m.n. de inleiding daarvan en de "Basic properties").
Dat is heel wat anders dan delen door nul (ofwel delen door log(1)).

Bijvoorbeeld:
\(\small S = \frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+\frac{-1}{13^5}+...\)
vermenigvuldig dit met 13:
\(\small 13S = \frac{-13}{13^1}+\frac{-13}{13^2}+\frac{-13}{13^3}+\frac{-13}{13^4}+\frac{-13}{13^5}+...\)
vereenvoudig alle breuken:
\(\small 13S = \frac{-1}{13^0}+\frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+...\)
\(\small = \frac{-1}{1}+\left(\frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+...\right)\)
\(\small = -1+S\)
en uit
\(\small 13S=-1+S\)
volgt
\(\small 12S=-1\)
ofwel
\(\small S=\frac{-1}{12}\)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.670

Re: [wiskunde] complexe oplossing?

RedCat schreef: za 03 feb 2024, 06:37
dannypje schreef: vr 02 feb 2024, 18:09 Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.
Een oneindige reeks kan een eindig resultaat opleveren (= de limietwaarde), zie bv.
Wat je laat zien is mooi voorbeeld met een elegante oplossing maar verder een "normale" meetkundige reeks.

Ik vermoed dat dannypje doelt op \(1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}\)
Zie Wikipedia

Reageer