[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Berichten: 110

[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Ik ben een tentamen aan het leren en loop tegen het volgende vraagstuk op:

Neem c:[a,b] in R^3 een oneindig differentieerbaar pad. c'(t) is voor elke t ongelijk aan 0. De vector c'(t) / Norm(c'(t)) = T(t) is de raaklijn van c aan c(t). Omdat de norm van T(t) = 1, wordt T de eenheidsraaklijn genoemd van c(t).

De vraag die hierbij hoort is: Laat zien dat T'(t)*T(t) = 0 en schrijf een formule voor T'(t) uitgedrukt in c.

De hint die gegeven is: Differentiatie T(t)*T(t) = 1

Ik begrijp deze vraag niet. Wat is de bedoeling en hoe los je zoiets netjes op...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Dus het accent is de afgeleide naar t? Als T(t) = c'(t)/|c'(t)|, dan vind je T'(t) door T(t) nogmaals af te leiden naar t.

Voor T'(t)*T(t) heb je:
\(T'\left( t \right) \cdot T\left( t \right) = \left( {\frac{d}{{dt}}T\left( t \right)} \right) \cdot T\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {T\left( t \right) \cdot T\left( t \right)} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 110

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Oke, bedankt!

Als we T'(t) uit moeten drukken in c krijgen we dan het volgende?

norm(c'(t)) * c''(t) - c'(t) * 0

gedeeld door

(norm(c'(t)))^2

De afgeleide van een norm is toch altijd 0 en verder kunnen we de NAT-TAN/N^2 regel toepassen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Je past de quotiëntregel correct toe, maar die is niet nodig.

De noemer hangt immers niet meer af van t, want als je de norm neemt krijg je een getal.

Die factor kan je dus voor de afgeleide zetten en dan vind je direct c''(t)/|c'(t)|.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 110

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Ofwel korter geschreven:

c''(t) gedeeld door norm(c'(t))

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Dat klopt, maar ik begrijp niet hoe dat korter is dan c''(t)/|c'(t)|, zoals ik al gaf :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 110

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Oke, je was me iets voor. :)

Aanvullend nog iets:

Als T'(t) ongelijk is aan 0 dan N(t) = T'(t)/ Norm( T'(t)) staat loodrecht op T(t).

De derde eenheidsvector, d.w.z. de vector die zowel loodrecht staat op T en N, definieren we als B = TxN.

Hoe kun je dan aantonen dat

B' * B = 0, B' * T = 0 en dat B' een scalaire veelvoud is van N?

(alle afleidingen zijn naar t)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

T (tangent), N (normal) en B (binormal) zijn allen genormaliseerd, dus voor B'.B geldt weer:
\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 1\)
Voor B'.T halen we de afgeleide buiten, maar B staat per definitie loodrecht op T, dus:
\(B' \cdot T = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot T} \right) = \frac{d}{{dt}}0 = 0\)
En dan zou B' nog een scalair veelvoud van N moeten zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)


Berichten: 110

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)


Dat lijkt me een betere oplossing i.p.v. 1. En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0 :)

Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

TD! schreef:Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0 :)

Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
Wat zou best kunnen? :)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

De laatste opgave, B' een scalair veelvoud van N. Ik zei dat als reactie op:
En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Ik zie ook nog staan: N is een "principal normal vector". Wat is dat precies? Kunnen we daaruit halen dat
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.493

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Die 'principal' kan je daar zetten om expliciet het verschil aan te duiden, maar dat is slechts naamgeving.

Gewoonlijk noemen we N gewoon de normaalvector en is B de binormale.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

En nog begrijp ik niet, waarom
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N :) :)

Reageer