Pagina 1 van 2
[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 14:32
door Wiskunde
Ik ben een tentamen aan het leren en loop tegen het volgende vraagstuk op:
Neem c:[a,b] in R^3 een oneindig differentieerbaar pad. c'(t) is voor elke t ongelijk aan 0. De vector c'(t) / Norm(c'(t)) = T(t) is de raaklijn van c aan c(t). Omdat de norm van T(t) = 1, wordt T de eenheidsraaklijn genoemd van c(t).
De vraag die hierbij hoort is: Laat zien dat T'(t)*T(t) = 0 en schrijf een formule voor T'(t) uitgedrukt in c.
De hint die gegeven is: Differentiatie T(t)*T(t) = 1
Ik begrijp deze vraag niet. Wat is de bedoeling en hoe los je zoiets netjes op...
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 14:40
door TD
Dus het accent is de afgeleide naar t? Als T(t) = c'(t)/|c'(t)|, dan vind je T'(t) door T(t) nogmaals af te leiden naar t.
Voor T'(t)*T(t) heb je:
\(T'\left( t \right) \cdot T\left( t \right) = \left( {\frac{d}{{dt}}T\left( t \right)} \right) \cdot T\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {T\left( t \right) \cdot T\left( t \right)} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 14:51
door Wiskunde
Oke, bedankt!
Als we T'(t) uit moeten drukken in c krijgen we dan het volgende?
norm(c'(t)) * c''(t) - c'(t) * 0
gedeeld door
(norm(c'(t)))^2
De afgeleide van een norm is toch altijd 0 en verder kunnen we de NAT-TAN/N^2 regel toepassen?
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 14:54
door TD
Je past de quotiëntregel correct toe, maar die is niet nodig.
De noemer hangt immers niet meer af van t, want als je de norm neemt krijg je een getal.
Die factor kan je dus voor de afgeleide zetten en dan vind je direct c''(t)/|c'(t)|.
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 14:58
door Wiskunde
Ofwel korter geschreven:
c''(t) gedeeld door norm(c'(t))
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 15:16
door TD
Dat klopt, maar ik begrijp niet hoe dat korter is dan
c''(t)/|c'(t)|, zoals ik al gaf
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 15:26
door Wiskunde
Oke, je was me iets voor.
Aanvullend nog iets:
Als T'(t) ongelijk is aan 0 dan N(t) = T'(t)/ Norm( T'(t)) staat loodrecht op T(t).
De derde eenheidsvector, d.w.z. de vector die zowel loodrecht staat op T en N, definieren we als B = TxN.
Hoe kun je dan aantonen dat
B' * B = 0, B' * T = 0 en dat B' een scalaire veelvoud is van N?
(alle afleidingen zijn naar t)
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 15:37
door TD
T (tangent), N (normal) en B (binormal) zijn allen genormaliseerd, dus voor B'.B geldt weer:
\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 1\)
Voor B'.T halen we de afgeleide buiten, maar B staat per definitie loodrecht op T, dus:
\(B' \cdot T = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot T} \right) = \frac{d}{{dt}}0 = 0\)
En dan zou B' nog een scalair veelvoud van N moeten zijn?
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 15:41
door Wiskunde
\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)
Dat lijkt me een betere oplossing i.p.v. 1. En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 15:47
door TD
Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0
Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 16:14
door Klaas-Jan
TD! schreef:Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0
Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
Wat zou best kunnen?
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 16:24
door TD
De laatste opgave, B' een scalair veelvoud van N. Ik zei dat als reactie op:
En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 16:24
door Klaas-Jan
Ik zie ook nog staan: N is een "principal normal vector". Wat is dat precies? Kunnen we daaruit halen dat
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N?
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 16:30
door TD
Die 'principal' kan je daar zetten om expliciet het verschil aan te duiden, maar dat is slechts naamgeving.
Gewoonlijk noemen we N gewoon de normaalvector en is B de binormale.
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 17:14
door Klaas-Jan
En nog begrijp ik niet, waarom
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N
