[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 110

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

En nog begrijp ik niet, waarom
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N :)   :)


Ik ben er ook nog niet overuit... Ik begrijp het andere wel, maar waarom is
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud van N?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.557

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Ha, een ingeving!

In de andere opgaven heb je gevonden dat B'.B = 0 en B'.T = 0, maar ook B.T = 0 (per definitie).

Dus: B' staat zowel loodrecht op B als op T, maar vermits N ook loodrecht staat op die twee, moet B' dus evenwijdig zijn met N.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

TD! schreef:Ha, een ingeving!  

In de andere opgaven heb je gevonden dat B'.B = 0 en B'.T = 0, maar ook B.T = 0 (per definitie).

Dus: B' staat zowel loodrecht op B als op T, maar vermits N ook loodrecht staat op die twee, moet B' dus evenwijdig zijn met N.
Klinkt erg logisch!

Ik heb nog één vraag:

waarom geldt
\(\left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right)\)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.557

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Daar zit een klein foutje, er ontbreekt een factor twee. Dat verandert echter (gelukkig) niets aan de redenering.
\(\frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{{dB}}{{dt}} \cdot B + B \cdot \frac{{dB}}{{dt}} = 2\left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B\)
Eerste stap is de productregel. Ze zijn dus wel samen 0 of niet 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Okee, dat is duidelijk. Maar hoe gebeurt dat hier?
\(B' \cdot T = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot T} \right) = \frac{d}{{dt}}0 = 0\)
Want
\(\frac{d}{dt}(B\cdot T)=\frac{dB}{dt}\cdot T+B\cdot \frac{dT}{dt}=0\)


maar hoe volgt daaruit dat
\(\left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot T} \right) \)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.557

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Die was ik al vergeten, uiteraard klopt deze uitdrukking dan ook niet. Maar:
\(\left( {B \cdot T} \right)^\prime = B' \cdot T + B \cdot T' = 0 \Rightarrow B' \cdot T = - B \cdot T' = \left( {N \times T} \right) \cdot T' = 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Okee, dus nu moeten we nog bewijzen:
\(\left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T =0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.557

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Zie laatste edit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Ah, dat ziet er goed uit.

Laatste vraag van mij: Hoe bewijs je
\((N\times T)\cdot T'=0\)
?

Stel ik heb bewezen dat
\(T\cdot T'=0\)
verder is
\((N\times T)\cdot T=0\)
(definitie uitproduct)

Hieruit volgt dat
\((N\times T)\cdot T'=0\)
klopt deze redenering?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.557

Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren

Je kan het ook meetkundig inzien, dat gemengd product is het volume van het parallellepipedum dat wordt opgespannen.

Dat is natuurlijk 0 indien de drie vectoren in één vlak liggen, of minstens twee vectoren lineair afhankelijk zijn.

Per definitie is N = T'/|T'|, dus T' en N liggen in elkaars verlengde (zijn dus lineair afhankelijk), dat product is 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer