Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

(3) DEFINITIE. Onder het panorama pan(x) van een pl-getal x verstaan we de functie van \( \mathbb{P}l \) naar \( \mathcal{P}(\mathbb{R}) \) waarvoor: \( [ \mathrm{pan}(x) ](z) = \mathrm{pq}(x,z) \).

(4) DEFINITIE. We noemen twee pl-getallen x en y verwant precies dan wanneer ze hetzelfde panorama hebben.

Volgens deze nieuwe definitie van verwante pl-getallen is verwantschap een equivalentierelatie geworden, waarmee dus ook een partitie van \( \mathbb{P}l \) is gegeven.

Voordat ik verder ga moet ik nog de knoop doorhakken of ik met \( \mathbb{R} \) of de afsluiting daarvan ga werken. Is over zulke afsluitingen een relatief eenvoudig YouTube filmpje te vinden?

[Professor Puntje]

Voordat ik verder ga moet ik nog de knoop doorhakken of ik met \( \mathbb{R} \) of de afsluiting daarvan ga werken.

De knoop is doorgehakt, de "extended real number line" (d.w.z. R met +∞ en -∞) lijkt mij het elegantst als toneel voor de verdere uitwerking van panorama's, e.d. Ik zoek daar nu alleen nog een goed boek of artikel over...

[Professor Puntje]

http://www.math.ttu.edu/~drager/Classes ... qnotes.pdf

Dat ziet er goed uit.

[Professor Puntje]

Even opnieuw: met de onderstaande verbeterde definities gaan we verder:


(1) DEFINITIE. Definieer " ... a_n ... a₃a₂a₁a₀ " als de functie van \( \mathbb{N}\) (inclusief 0) naar \(\mathbb{R}\) met:

\( [ ... a_n ... a_3a_2a_1a_0 ](m) = \sum\limits_{i=0}^m \, a_i \, 10^i \)

(De a_k worden gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.)

De aldus gedefinieerde functies noemen we primitieve linkse getallen, en de verzameling der primitieve linkse getallen geven we weer als \( \mathbb{P} l \). De uitdrukking "primitieve linkse getallen" zullen we verder veelal afkorten tot "pl-getallen". Dat is niet zo'n mond vol.


(2) DEFINITIE. Onder het pseudoquotiënt pq(x,y) van twee pl-getallen x en y verstaan we de verzameling van alle verdichtingspunten in \( \overline{\mathbb{R}} \) van de onderstaande oneindige rij quotiënten:

\(\)

\( \frac{x(0) + 1}{y(0) +1} , \frac{x(1) + 1}{y(1) +1} , \frac{x(2) + 1}{y(2) +1} , \frac{x(3) + 1}{y(3) +1} , ... \)

.
Hierin is \( \mathbb{\overline{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty \} \cup \{ -\infty \} \) de uitgebreide reële getallenlijn.


(3) DEFINITIE. Onder het panorama pan(x) van een pl-getal x verstaan we de functie van \( \mathbb{P}l \) naar \( \mathcal{P}(\mathbb{\overline{R}}) \) met: \( [ \mathrm{pan}(x) ](z) = \mathrm{pq}(x,z) \).

[Math-E-Mad-X]

Ik denk dat dit topic meer zin heeft als je concrete vragen stelt met een ja/nee antwoord.

Bijvoorbeeld: "kunnen we deze verzameling een volledige ordering geven?" Daarop zou iemand dan kunnen antwoorden met "ja, want de reële getallen hebben een ordering", maar dat is waarschijnlijk niet de ordering die je graag zou willen hebben, dus dan kun jij daar weer op reageren door je eisen aan te scherpen. Bijvoorbeeld "kunnen we een ordering opleggen waarbij alle pl-getallen die slechts eindig veel niet-nul cijfers hebben kleiner zijn dan alle pl-getallen met oneindig veel niet-nullen?" Op die manier creëer je een dialoog.


Als je alleen maar de vage doelstelling hebt dat je "zo dicht mogelijk bij de natuurlijke getallen" wil blijven wordt het erg moeilijk voor anderen om met je mee te denken en dan gaat dit topic meer op een monoloog lijken.

[Math-E-Mad-X]

Okee, ik zie nu dat je deze concrete vraag gesteld hebt:

Vraag: zijn er pl-getallen x en y waarvoor pq(x,y) de lege verzameling is?

Het antwoord is (volgens mij) nee, want, (als ik me niet vergis) in een compacte ruimte heeft iedere rij minimaal één ophopingspunt.

[Professor Puntje]

@ Math-E-Mad-X

Nu de eerste definities zijn vastgesteld kan ik meer concreet vragen gaan stellen. Dan ontstaat er (hoop ik) ook gaandeweg een discussie en een theorie.

Met behulp van het panorama kunnen we nu een equivalentierelatie op \( \mathbb{P}l \) definiëren door precies die pl-getallen als equivalent te beschouwen die hetzelfde panorama hebben. Dat levert vervolgens een partitie van \( \mathbb{P}l \) op.

Vraag: zijn er ook niet-identieke pl-getallen met hetzelfde panorama?

[tempelier]

Ik dacht eerst me er met een Jantje van Leiden van af te kunnen maken.
Door een soort spiegeling toe te passen rond de komma met ..........,00000000000000000 naar 0000000000,...........

Maar daar stuit je dan op de fout die Cantor maakte, namelijk dat verschillende notaties de zelfde waarde hebben.

[Professor Puntje]

De fout die Cantor maakte?

[Professor Puntje]

Ik vermoed overigens dat ...111110 en ...111100 hetzelfde panorama hebben, maar ik heb daar nog geen bewijs voor...

[tempelier]

0.4999999999999999999999999999999999999999999...........=0.500000000000000000000.........

Het was zijn leerling Bernstein die hem daar op heeft gewezen.

[Professor Puntje]

Heeft hij die fout (oorspronkelijk) gemaakt in zijn diagonaal-bewijs van de overaftelbaarheid van R?

[tempelier]

De fout zat in ieder geval in het aantonen dat het interval <0,1> evenveel punten bevat als het binnengebied van het Vierkant dat de hoekpunten (0,0) , (1,0) , (1,1) , (0,1) heeft.

[Professor Puntje]

Ah - juist.

[Professor Puntje]

Ik vermoed overigens dat ...111110 en ...111100 hetzelfde panorama hebben, maar ik heb daar nog geen bewijs voor...

Maar inmiddels wel.

BEWIJS:

Laat: x = ...111110 en y = ...111100 en z = ...z_n...z₃z₂z₁z₀ .

Vervolgens onderscheiden we twee gevallen:


I. Het pl-getal z bevat slechts eindig veel cijfers z_k ongelijk aan nul. Dan zien we vanuit de definitie van het pseudoquotiënt direct dat: pq(x,z) = pq(y,z) = { +∞ } .


II. Het pl-getal z bevat oneindig veel cijfers z_k ongelijk aan nul.

Voor ieder verdichtingspunt v uit pq(x,z) is er dan een deelrij \( \frac{x'(m) +1}{z'(m) + 1} \) van \( \frac{x(n) +1}{z(n) + 1} \) met: \( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x'(m) +1}{z'(m) + 1} = v \).
Maar dan geldt ook voor de met \( \frac{x'(m) +1}{z'(m) + 1} \) overeenkomende deelrij \( \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} \) van \( \frac{y(n) +1}{z(n) + 1} \) dat:

\(\)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(x'(m)-10) + 1}{z'(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(x'(m)+1) - 10 }{z'(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} \, = \, \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x'(m) +1}{z'(m) + 1} \,\, - \,\, \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{10}{z'(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} \, = \, v \,\, - \,\, 0 \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y'(m) +1}{z'(m) + 1} \, = \, v \)

\( \mathrm{pq} (x,z) \subseteq \mathrm{pq}(y,z) \)

\(\)

En ook omgekeerd:

Voor ieder verdichtingspunt w uit pq(y,z) is er dan een deelrij \( \frac{y''(m) +1}{z''(m) + 1} \) van \( \frac{y(n) +1}{z(n) + 1} \) met: \( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y''(m) +1}{z''(m) + 1} = w \).
Maar dan geldt voor de met \( \frac{y''(m) +1}{z''(m) + 1} \) overeenkomende deelrij \( \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} \) van \( \frac{x(n) +1}{z(n) + 1} \) dat:

\(\)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(y''(m)+10) + 1}{z''(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(y''(m)+1) + 10 }{z''(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} \, = \, \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{y''(m) +1}{z''(m) + 1} \,\, + \,\, \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{10}{z''(m) + 1} \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} \, = \, w \,\, + \,\, 0 \)

\( \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{x''(m) +1}{z''(m) + 1} \, = \, w \)

\( \mathrm{pq} (y,z) \subseteq \mathrm{pq}(x,z) \)

\(\)

Dus ook als het pl-getal z oneindig veel cijfers z_k ongelijk aan nul bevat vinden we dat pq(x,z) = pq(y,z).


Bijgevolg geldt voor alle pl-getallen z dat pq(x,z) = pq(y,z). Waarmee is bewezen dat pan(...111110) = pan(...111100). \( \,\,\,\, \square \)