Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

(4) DEFINITIE. Onder gegeneraliseerde linkse getallen verstaan we functies van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \), en de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen geven we aan als \( \mathbb{G} l \). Vaak zullen we in plaats van "gegeneraliseerde linkse getallen" kortweg spreken van "gl-getallen". De optelling + en vermenigvuldiging . voor de gl-getallen (en daarmee ook voor de pl-getallen) definiëren we als volgt:

[x + y](n) = x(n) + y(n) & [x.y](n) = x(n) . y(n).

Daarmee vormt \( ( \mathbb{G} l, + , . ) \) een commutatieve (functie)ring.

De verzameling der primitieve linkse getallen \( \mathbb{P} l \) vormt dus een deelverzameling van de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen \( \mathbb{G} l \). Alle pl-getallen zijn dus ook steeds gl-getallen, maar gl-getallen zijn niet steeds ook pl-getallen. Veel gl-getallen hebben geen cijfermatige voorstelling, maar de pl-getallen hebben dat per definitie wel altijd.

[Math-E-Mad-X]

Wat wil je hier precies mee doen? Je doet hier feitelijk niets anders dan een nieuwe naam te geven aan een bestaand concept (de verzameling functies van N naar R).

[Math-E-Mad-X]

Veel gl-getallen hebben geen cijfermatige voorstelling, maar de pl-getallen hebben dat per definitie wel altijd.

Dit ben ik niet met je eens (al weet ik niet precies wat jij onder een 'cijfermatige voorstelling' verstaat). Een reëel getal kunnen we ze zien als een functie van N naar de verzameling {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (het spiegelbeeld van een pl getal)

Een gl-getal kan dus gezien worden als een functie van N x N naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, en het zou bekend bij je moeten zijn dat er een bijectie mogelijk is tussen N en N x N. Dus via die bijectie kunnen we gl-getallen weer opvatten als functies van N naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, maar dat is weer precies de definitie van een pl getal.

Kortom, er is een bijectie tussen de gl-getallen en de pl-getallen.

[Professor Puntje]

Wat wil je hier precies mee doen? Je doet hier feitelijk niets anders dan een nieuwe naam te geven aan een bestaand concept (de verzameling functies van N naar R).

Ik ben van plan de pl-getallen stapsgewijze uit te breiden naar omvattender getallenverzamelingen (waarin dan bijvoorbeeld optellen en vermenigvuldigen steeds mogelijk is), en dat kan dan allemaal binnen de zeer ruim gekozen verzameling \( \mathbb{G} l\) en ring \( (\mathbb{G} l , + , . )\) plaats vinden. Ik moet wel nog even uitzoeken hoe die constructies in de algebra heten, en hoe dat precies werkt.

[Professor Puntje]

Veel gl-getallen hebben geen cijfermatige voorstelling, maar de pl-getallen hebben dat per definitie wel altijd.

Dit ben ik niet met je eens (al weet ik niet precies wat jij onder een 'cijfermatige voorstelling' verstaat). Een reëel getal kunnen we ze zien als een functie van N naar de verzameling {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (het spiegelbeeld van een pl getal)

Een gl-getal kan dus gezien worden als een functie van N x N naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, en het zou bekend bij je moeten zijn dat er een bijectie mogelijk is tussen N en N x N. Dus via die bijectie kunnen we gl-getallen weer opvatten als functies van N naar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, maar dat is weer precies de definitie van een pl getal.

Kortom, er is een bijectie tussen de gl-getallen en de pl-getallen.

Je hebt gelijk, ik moet nog een aparte benaming bedenken voor de door mij geïntroduceerde cijfermatige voorstelling van pl-getallen of de geciteerde zin weglaten.

[Math-E-Mad-X]

Ik moet wel nog even uitzoeken hoe die constructies in de algebra heten, en hoe dat precies werkt.

Dit is feitelijk niets anders dan een oneindig-dimensionale vectorruimte.

EDIT: als je ook wil vermenigvuldigen dan wordt het een oneindig-dimensionale ring, en als je ook wil kunnen delen dan wordt het een oneindig-dimensionaal lichaam.

[Professor Puntje]

Verbeterde definities:


(1') DEFINITIE. Definieer " ... a_n ... a₃a₂a₁a₀ " als de functie van \( \mathbb{N}\) (inclusief 0) naar \(\mathbb{R}\) met:

\( [ ... a_n ... a_3a_2a_1a_0 ](m) = \sum\limits_{i=0}^m \, a_i \, 10^i \)

(De a_k worden gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.)

De aldus gedefinieerde functies noemen we primitieve linkse getallen, en de verzameling der primitieve linkse getallen geven we weer als \( \mathbb{P} l \). De uitdrukking "primitieve linkse getallen" zullen we verder veelal afkorten tot "pl-getallen". Dat is niet zo'n mond vol. Een aanduiding van de vorm " ... a_n ... a₃a₂a₁a₀ " voor een pl-getal met de boven gegeven interpretatie als een functie van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \) noemen we de decimale gedaante van dat pl-getal.



(4') DEFINITIE. Onder gegeneraliseerde linkse getallen verstaan we functies van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \), en de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen geven we aan als \( \mathbb{G} l \). Vaak zullen we in plaats van "gegeneraliseerde linkse getallen" kortweg spreken van "gl-getallen". De optelling + en vermenigvuldiging . voor de gl-getallen (en daarmee ook voor de pl-getallen) definiëren we als volgt:

[x + y](n) = x(n) + y(n) & [x.y](n) = x(n) . y(n).

Daarmee vormt \( ( \mathbb{G} l, + , . ) \) een commutatieve (functie)ring.

De verzameling der primitieve linkse getallen \( \mathbb{P} l \) vormt dus een deelverzameling van de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen \( \mathbb{G} l \). Alle pl-getallen zijn dus ook steeds gl-getallen, maar gl-getallen zijn niet steeds ook pl-getallen. Veel gl-getallen hebben geen decimale gedaante in de eerder gedefinieerde betekenis, maar de pl-getallen hebben dat per definitie wel altijd.

[Math-E-Mad-X]

De optelling + en vermenigvuldiging . voor de gl-getallen (en daarmee ook voor de pl-getallen) definiëren we als volgt:

[x + y](n) = x(n) + y(n) & [x.y](n) = x(n) . y(n).

Hier kom je in de problemen. voor een pl getal x hebben we namelijk per definitie altijd dat x(n) exact n cijfers heeft. x(n)+y(n) of x(n).y(n) zullen meestal meer dan n cijfers hebben.

Het klopt dat je een goed-gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging voor GL hebt gevonden, en het klopt ook dat PL een deelverzameling van GL is, maar dat is niet voldoende om te zeggen dat je nu een goed-gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging voor PL hebt. Het probleem is namelijk dat PL niet gesloten is onder deze vermenigvuldiging en optelling.

(de term gesloten wil hier zeggen dat de som of het product van twee PL getallen opnieuw een PL getal is. Dit moet je dus niet verwarren met de term 'gesloten' binnen de topologie, want dat heeft er niets mee te maken.)

[Professor Puntje]

Daarom moet \( \mathbb{P} l \) ook uitgebreid worden tot de kleinste deelverzameling van \( \mathbb{G} l \) die alle met pl-getallen te vormen sommen en producten en sommen van producten en producten van sommen, etc. bevat. Zo'n ding zal in de abstracte algebra vast al een fraaie naam en definitie hebben.

[Professor Puntje]

Verder verduidelijkte definitie:

(4'') DEFINITIE. Onder gegeneraliseerde linkse getallen verstaan we de functies van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \), en de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen geven we aan als \( \mathbb{G} l \). Vaak zullen we in plaats van "gegeneraliseerde linkse getallen" kortweg spreken van "gl-getallen". De optelling + en vermenigvuldiging . voor de gl-getallen (en daarmee ook voor de pl-getallen) definiëren we als volgt:

[x + y](n) = x(n) + y(n) & [x.y](n) = x(n) . y(n).

Daarmee vormt \( ( \mathbb{G} l, + , . ) \) een commutatieve (functie)ring.

De verzameling der primitieve linkse getallen \( \mathbb{P} l \) vormt dus een deelverzameling van de verzameling der gegeneraliseerde linkse getallen \( \mathbb{G} l \). Alle pl-getallen zijn dus ook steeds gl-getallen, maar gl-getallen zijn niet steeds ook pl-getallen. Veel gl-getallen hebben geen decimale gedaante in de eerder gedefinieerde betekenis, maar de pl-getallen hebben dat per definitie wel altijd. Ten slotte zijn alle sommen x+y en producten x.y van twee pl-getallen x en y steeds gl-getallen, maar (lang) niet altijd weer pl-getallen.

[Professor Puntje]

(5) DEFINITIE. Definieer " t ... a_n ... a₃a₂a₁a₀ " als de functie van \( \mathbb{N}\) (inclusief 0) naar \(\mathbb{R}\) met:

\(\)

\( [ t ... a_n ... a_3a_2a_1a_0 ](m) = t \sum\limits_{i=0}^m \, a_i \, 10^i \)

(Het teken t is + of - , en de a_k worden gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.)

De aldus gedefinieerde functies noemen we hele linkse getallen, en de verzameling der hele linkse getallen geven we weer als \( \mathbb{H} l \). De uitdrukking "hele linkse getallen" zullen we verder vaak afkorten tot "hl-getallen". En een aanduiding van de vorm " t ... a_n ... a₃a₂a₁a₀ " voor een hl-getal met de boven gegeven interpretatie als een functie van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \) noemen we wederom de decimale gedaante van dat hl-getal.

[Math-E-Mad-X]

Okee, maar dan zie ik nog een ander probleem. Je zei dat je zo dicht mogelijk bij de natuurlijke getallen wil blijven.

Ik interpreteer dat in de zin dat je de verzameling natuurlijke getallen will opvatten als een deelverzameling van de pl getallen. Verder lijkt mij dan dat je op z'n minst wil hebben dat wanneer je de optelling en vermenigvuldiging in PL beperkt tot de natuurlijke getallen, je weer de gewone optelling en vermenigvuldiging krijgt zoals die voor de natuurlijke getallen gedefinieerd zijn (formeler gezegd: je wil dat de ring der natuurlijke getallen een deelring is van de ring PL). Maar dat is nu niet het geval!

Bijvoorbeeld, als we 5, 6 en 11 opvatten als pl-getallen dan is de vergelijking 5+6 = 11 niet correct!

Deze vergelijking is natuurlijk wel weer correct as we 11 opvatten als het gl-getal ...0,0,0,11 maar dan zie ik niet meer in waar je de pl-getallen überhaupt nog voor nodig hebt. Het leek mij nou juist dat je het natuurlijke getal 11 wilde opvatten als het pl-getal ...0,0,0,1,1

Dus, voor de verduidelijking: hoe had jij gedacht de natuurlijke getallen in te bedden in de pl-getallen en/of gl-getallen ?

[Professor Puntje]

Dat heb ik nog niet uitgewerkt, maar ideaal gesproken zou je met de pl-getallen die overeenkomen met natuurlijke getallen dezelfde berekeningen moeten kunnen uitvoeren als met de natuurlijke getallen zelf. Daar mag natuurlijk wel een vertaalslag tussen zitten.

Ik heb al een idee hoe we dat recht kunnen breien, en zal daar nu eerst wat aandacht aan besteden voordat we verder gaan.

[Professor Puntje]

Van een natuurlijk getal q naar het daarmee corresponderende pl-getal link(q) is duidelijk, voeg aan de decimale schrijfwijze van q links een oneindige rij nullen toe en je hebt de decimale gedaante van link(q).

Stel dat we nu allerlei optellingen en vermenigvuldigingen met pl-getallen hebben uitgevoerd dan zal de uitkomst daarvan een gl-getal u zijn. Als nu de uitkomst van de daarmee corresponderende berekening in natuurlijke getallen v is dan geldt volgens mij: \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u(n) = v \).

[Professor Puntje]

Dit heb ik nodig om \( \mathbb{H} l\) in de ring \( ( \mathbb{G} l , + , . )\) zodanig uit te kunnen breiden dat optellen en vermenigvuldigen steeds mogelijk zijn:

Subring generated by a set
Let R be a ring. Any intersection of subrings of R is again a subring of R. Therefore, if X is any subset of R, the intersection of all subrings of R containing X is a subring S of R. S is the smallest subring of R containing X. ("Smallest" means that if T is any other subring of R containing X, then S is contained in T.) S is said to be the subring of R generated by X. If S = R, we may say that the ring R is generated by X.

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Subring#S ... ed_by_a_se

Nog even uitzoeken hoe dat in het Nederlands heet.