Pagina 6 van 9

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: do 25 jun 2020, 18:35
door Professor Puntje
Professor Puntje schreef: do 25 jun 2020, 16:50 Nog even uitzoeken hoe dat in het Nederlands heet.
Kan het niet vinden dus ik vertaal het maar botweg als "de deelring gegenereerd door". :P


(6) DEFINITIE. Onder de ring der volledige linkse getallen \( ( \mathbb{V} l ,+ , . ) \) verstaan we de deelring van \( (\mathbb{G} l , + , . ) \) gegenereerd door \( \mathbb{H} l \) . De verzameling \( \mathbb{V} l \) noemen we dan uiteraard de verzameling der volledige linkse getallen terwijl we \( \mathbb{V} l \)'s elementen volledige linkse getallen of kortweg vl-getallen noemen. De som en het product van twee vl-getallen zijn ook altijd zelf weer vl-getallen. Bovendien kunnen alle vl-getallen als de som van een eindig aantal producten van eindige aantallen hl-getallen geschreven worden.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: wo 01 jul 2020, 18:13
door Professor Puntje
Samen met het bewijs in dit topic is de basis van de theorie nu klaar. Ik laat het nu eerst even bezinken, en daarna hoop ik de resultaten in een pdf-je samen te vatten.

Vervolgens kunnen we dan bekijken of deze uitgangspunten ook tot een wiskundig interessante theorie leiden.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: zo 05 jul 2020, 23:54
door Professor Puntje
Een probleem waar we in het vervolg mee te maken zullen krijgen is het volgende:

x = ...28282828282828586
y = ...28282828282828490
z = ...28282828282828285

De twee pl-getallen x en y zijn te schrijven als:

x = ...000301 + z
y = ...000210 - ...000005 + z

Maar wat te doen als de cijfers van een pl-getal ver naar links geen duidelijk patroon meer vertonen? Is er dan toch een "natuurlijke manier" om een "oneindig deel" (zoals in het voorbeeld z) van het pl-getal te bepalen.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: ma 06 jul 2020, 00:36
door Professor Puntje
Correctie:

Voor z hadden we natuurlijk ...28282828282828282 moeten nemen, dat is hier immers het meest logisch.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: ma 06 jul 2020, 11:06
door Math-E-Mad-X
Professor Puntje schreef: zo 05 jul 2020, 23:54 Maar wat te doen als de cijfers van een pl-getal ver naar links geen duidelijk patroon meer vertonen?
Als de cijfers ver naar links geen patroon meer vormen, dan is het getal niet gedefinieerd. Dat betekent dat het overgrote gedeelte van de pl-getallen niet gedefinieerd is!

Dat geld overigens net zo goed voor de reëele getallen. Je kunt de gehele verzameling der reëele getallen wel definieren, maar het grootste gedeelte van de elementen die daarin zitten hebben zelf geen definitie. Dat is voor de reële getallen in de praktijk geen groot probleem omdat we in praktische situaties vrijwel altijd voldoende hebben aan een benadering van het getal (een afronding tot 10 decimalen zal voor de meeste praktische berekeningen wel voldoen).

Voor jou pl-getallen lijkt me dat echter een veel groter probleem, omdat je een pl-getal niet kan benaderen door af te ronden.

Denk hier maar eens over na: hoe je een getal ook wil definieren, een definitie bestaat sowieso altijd uit een eindige reeks van symbolen gekozen uit een eindig alfabet. Dat betekent dat de verzameling van definities die je op kunt schrijven een aftelbare verzameling is. En dat wil weer zeggen dat de verzameling der 'definieerbare getallen' een aftelbare verzameling is.

Ik ben zelf daarom ook nooit een fan van de reële getallen geweest. Ik vind het een nogal zinloos concept. In vrijwel iedere situatie buiten de pure wiskunde waarin men het heeft over de reële getallen (bijv. natuurkunde, informatica, etc... ) is men stiekem eigenlijk bezig met de (aftelbare) verzameling der 'turing-computable numbers'.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: ma 06 jul 2020, 11:26
door Math-E-Mad-X
Opmerking: wanneer ik hierboven 'patroon' zeg, dan bedoel ik daar niet slechts een herhaling van cijfers in de decimale ontwikkeling mee. Als een getal een patroon heeft bedoel ik dat het getal op één of andere manier opgeschreven kan worden (via formules of een algoritme).

Het getal pi bijvoorbeeld heeft volgens deze betekenis dus wel een patroon.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: ma 06 jul 2020, 12:06
door Professor Puntje
Met dat probleem van die ongrijpbaarheid heb ik in eerdere pogingen "links oneindige" getallen te introduceren al vaker geworsteld. Wat je op basis van het keuzeaxioma zou kunnen doen is simpelweg stellen dat er een keuzefunctie bestaat die voor ieder pl-getal het bijbehorende oneindige deel aanwijst. Maar dat vind ik niet erg bevredigend want dan weet je voor concrete pl-getallen nog niet wat dat oneindige deel dan is. Iets waar ik ook aan denk is om die keuzefunctie een "object in wording" te laten zijn, al naar gelang dat zo uit komt leg je dan meer keuzes van oneindige delen van pl-getallen vast. Of anders om die keuzefunctie voor alle berekenbare pl-getallen expliciet te construeren (als dat kan) en er voor de rest genoegen mee te nemen dat zo'n functie (in niet-constructieve zin) uitgebreid tot alle niet-berekenbare pl-getallen als argument ook nog bestaat.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: di 07 jul 2020, 12:07
door Math-E-Mad-X
Professor Puntje schreef: ma 06 jul 2020, 12:06 Iets waar ik ook aan denk is om die keuzefunctie een "object in wording" te laten zijn, al naar gelang dat zo uit komt leg je dan meer keuzes van oneindige delen van pl-getallen vast. Of anders om die keuzefunctie voor alle berekenbare pl-getallen expliciet te construeren (als dat kan) en er voor de rest genoegen mee te nemen dat zo'n functie (in niet-constructieve zin) uitgebreid tot alle niet-berekenbare pl-getallen als argument ook nog bestaat.
Hier volg ik je niet helemaal...

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: di 07 jul 2020, 17:01
door Professor Puntje
Math-E-Mad-X schreef: di 07 jul 2020, 12:07 Hier volg ik je niet helemaal...
Gezocht is een keuzefunctie "on" die voor ieder pl-getal x een pl-getal on(x) oplevert dat hoogstens in eindig veel cijfers van x verschilt. Verder eisen we van on ook nog dat voor ieder paar pl-getallen x en y die slechts in eindig veel cijfers van elkaar verschillen geldt dat on(x) = on(y). Op basis van het keuzeaxioma bestaan er zulke keuzefuncties. Een dergelijke keuzefunctie maakt het dan mogelijk om ieder pl-getal x op een gestandaardiseerde wijze als de som van een oneindig deel on(x) en twee eindige delen pein(x) (het positieve eindige deel) en nein(x) (het negatieve eindige deel) te schrijven. (Zie de eerder gegeven voorbeelden.) Deze delen kunnen in voorkomende gevallen ook ...000 zijn.

Is het tot zover te volgen?

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: wo 08 jul 2020, 14:09
door Math-E-Mad-X
Okee, ik snap nu wat je bedoelt.

Ik zie alleen niet in wat je nu, al met al, eigenlijk bereikt hebt. De verzameling PL is (voor zover ik begrijp) niet gesloten onder optelling, dus moeten we naar VL kijken. Maar VL is, voor zover ik zie, niets meer dan het product van een oneindig aantal kopieën van de verzameling der gehele getallen.

Ook vormen de natuurlijke getallen volgens mij geen deelring van PL, wat eigenlijk wel je bedoeling was.

Verder heb je laten zien dat jou pl-getallen geschreven kunnen worden als een oneindige reeks cijfers plus twee eindige reeksen, maar dat kun je ook doen met de reële getallen. Ook is het me niet helemaal duidelijk welk probleem dit oplost.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: wo 08 jul 2020, 14:42
door Professor Puntje
Of het wiskundig interessant gaat worden weet ik ook nog niet. Mijn eerste zorg was om aan te tonen dat je "links oneindige getallen" als legitieme wiskundige objecten kunt introduceren. Mogelijk zijn er toepassingen i.v.m. de decimale representatie van bijzondere reële getallen zoals 1/π . Sommige vragen over de decimale representatie van 1/π kun je immers vertalen in vragen over ...8903813. Maar dat is allemaal nog toekomstmuziek. De theorie zal veel verder moeten worden uitgewerkt voordat er iets in die richting valt te verwachten.

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: do 09 jul 2020, 15:12
door Professor Puntje
Laat ...8903813 het pl-getal zijn dat je verkrijgt door de decimale representatie van 1/π naar links uit te schrijven. Kunnen we het panorama pan( ...8903813) van ...8903813 uitgaande van de huidige wiskundige kennis dan wel bepalen?

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: vr 10 jul 2020, 23:11
door Professor Puntje
Ik heb de basisdefinities in een pdf'je gestopt. Zie:
LinkseGetallen1.pdf
(101.96 KiB) 84 keer gedownload

Daar moet later het bewijs uit het topic over verdichtingspunten nog aan worden toegevoegd. Zie:
viewtopic.php?f=72&t=210693


Alles op zijn tijd...

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: za 11 jul 2020, 12:24
door Erik Leppen
Ik vind het in dit soort gevallen fijn om te werken met een paar voorbeelden, gewoon om te kijken wat er concreet gebeurt

1 Pl-getallen
Een pl-getal is ofwel eventueel constant (dat zijn de "eindige" cijferrijtjes), ofwel exponentieel stijgend (de oneindige rijtjes).
voorbeeld: het pl-getal "...1111" is de functie die n stuurt naar \(\frac{10^{n + 1} - 1}{9}\).

Het klinkt mij logisch om pl-getal te beschrijven als
-eindig (beter: "geheel"?): als ze naar links op een gegeven moment alleen nullen hebben
-rationaal: als ze naar links op een gegeven moment periodiek worden

2 Pseudoquotient:
Het pseudoquotient van ...5555 en ...3333 is de limiet van 6/4, 56/34, 556/334, 5556/3334, ... en dat lijkt inderdaad naar 5/3 te neigen. intuïtief is pq(...5555, ...3333) = {5/3}

Als x eindig is en y oneindig, dan is pq(x, y) de limiet van een rij waarbij de teller op-den-duur-constant is en de noemer stijgt, dus dat wordt {0}.
andersom, als x oneindig en y eindig, dan wordt het {+oneindig}

Interessant wordt het bij beide oneindig. Neem x de omgekeerde decimalenreeks van pi: ...62951413 en y = ...11111111. pq(x, y) is de verzameling verdichtingspunten van
3/1,
13/11,
413/111,
1413/1111,
51413/11111,
951413/111111,
2951413/1111111,
62951413/11111111,
Het vermoeden is dat pi normaal is: https://nl.wikipedia.org/wiki/Normaal_getal Onder die aanname kun je volgens mij afleiden dat elk punt tussen 0 en 9 een verdichtspunt is van deze rij (d.w.z. de rij is dicht (https://nl.wikipedia.org/wiki/Dicht_(wiskunde) in [0, 9]. Dus dan zou pq(x, y) het hele interval zijn.
Omgekeerd, pq(...1111111, ...62951413) wordt, vermoed ik, het "omgekeerde interval" [1/9, +oneindig].

Mijn vermoeden is dat hetzelfde gebeurt voor alle "normale" pl-getallen x en alle "rationale" pl-getallen y.

3 Panorama:
als x eindig is, dan als z eindig is dn is pq(x, z) = (x/z) (gezien als quotiënt van gewone natuurlijke getallen) en als z oneindig is dan is pq(x, z) = 0. Dan is pan(x) een functie die eindige z stuurt naar {x/z} en oneindige z naar {0}.
Als x bijvoorbeeld de "achterstevoren pi-reeks" hierboven is dan is als z eindig is, pq(x, z) = {+oneindig} en als z oneindig is maar een patroon heeft, pq(x, z) een interval en als z oneindig is en geen patroon heeft dan kunnen er allerlei dingen gebeuren.
Het lijkt me hier interessant om pan(x) te proberen concreet te beschrijven voor
- eindige x
- rationale x
- normale x
en voor elk van die 3 gevallen, pan(x)(z) te beschrijven voor
- eindige z
- rationale z
- normale z
en te kijken wat je krijgt in elk van die 3 x 3 gevallen.

(4) gl-getallen
een verzameling van N naar R is een getallenrij.
schrijf het pl-getal ...dcba als {a, b, c, d, ...}

Dan is {a, b, c, ...} + {x, y, z, ...} = {a + x, b + y, c + z}, dus de eenheid voor optelling is {0, 0, 0, ...} = ...0000 = 0.

Dan is {a, b, c, ...} * {x, y, z, ...} = {ax, by, cz} dus de eenheid voor vermenigvuldiging is {1, 1, 1, ...} = ...1111. (interessant: dat is de y die ik als noemer gebruikte in het pq-voorbeeld)

(5) hele linkse getallen
volgens mij is het enige dat je toevoegt het teken. Je zou [t...dcba] dus kunnen schrijven als t{a, b, c, d, ...} oftewel {ta, tb, tc, td, ...}
(ik weet niet of "hele" getallen een handige naam is)

Bij 6 heb ik het vermoeden dat je deelring gegenereerd door Hl de hele ring is. Maar zonder enig bewijst verder.

Ik zie wat je doet als een soort quotiënt van getallenrijtjes definiëren waarbij je de "significantie" van de "digits" omdraait, waardoor je rij soms geen limiet heeft en je moet uitwijken naar de "verzameling verdichtingspunten". Het is de vraag waar dat toe leidt, mijn beeld erbij is dat met die pq() functie je getallen die onregelmatig zijn, soort van "uitsmeert" naar intervallen, ongeacht of die onregelmatige getallen als noemer of als teller optreden, en tenzij ze toevallig samenvallen (omdat pq(x, x) gelukkig wel altijd {1} is).

Vooral de bijzondere rol van ...1111 als eenheid van vermenigvuldiging, maar wel als exponentieel stijgende functie, vind ik wat contraïntuïtief.

Hoop dat je wat hebt aan mijn gedachtenspinsels/observaties :)

Re: Oneindige decimale getallen?

Geplaatst: za 11 jul 2020, 14:52
door Professor Puntje
Dank voor de uitgebreide reactie! Ik ga daar eerst eens over nadenken en dan kom ik erop terug.

Wel zie ik op Wikipedia al dat:
Hoewel bewezen kan worden dat bijna alle getallen normaal zijn, is dat bewijs voor concrete gevallen meestal niet te geven. Zo bestaat het vermoeden dat getallen zoals √2, π en e normaal zijn, maar sluitend bewijs daarvoor ontbreekt.
Dat wordt dus lastig omdat ik daar bij de verdere uitwerking van mijn theorie al direct op de grenzen van onze huidige kennis stoot.