Oneindige decimale getallen?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Oneindige decimale getallen?

Getallen met oneindig veel cijfers rechts van de komma zijn bekend, maar kan dat ook links van de komma? Eén manier om dat voor elkaar te krijgen zijn de zogeheten p-adische getallen. Maar zulke getallen zijn ten opzichte van de "gewone" getallen niet oneindig groot. Het lijkt mij leuk om te zien of er met oneindig veel cijfers links van de komma een nieuw type oneindige grote getallen is te maken. Ik heb dat wel vaker geprobeerd, maar de laatste jaren heb ik mijn kennis van de wiskunde flink uitgebreid dus wie weet komt er nu wel iets leuks uit. :ugeek:

Aanzet:

(1) DEFINITIE. Definieer " ... an ... a3a2a1a0 " als de functie van N naar R met:
\( [ ... a_n ... a_3a_2a_1a_0 ](m) = \sum\limits_{i=0}^m \, a_i \, 10^i \)


De aldus gedefinieerde getallen noemen we primitieve linkse getallen, en de verzameling der primitieve linkse getallen geven we weer als \( \mathbb{P} l \).

De eerste vraag die zich nu opdringt is welke primitieve linkse getallen we als even groot gaan rekenen. Deze keuze moet zo zijn dat er een elegant en intuïtief aansprekend getallenstelsel ontstaat. Zo'n keuze is deels een subjectieve kwestie maar niet helemaal. Immers ontstaat er vaak binnen de wiskundige gemeenschap na een periode van zoeken een redelijke mate van overeenstemming over de geëigende aanpak van wiskundige vraagstukken. We zoeken nu dus een elegante en intuïtief aansprekende equivalentierelatie op \( \mathbb{P} l \).

(Dit topic dient geen enkel praktisch en/of economische doel, maar is enkel bedoeld als een vorm van recreatieve wiskunde.)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.714

Re: Oneindige decimale getallen?

Op zich is dit een interessant topic en ik zal het proberen te blijven volgen, maar eerlijk gezegd zie ik maar heel weinig mogelijkheden om dit voor elkaar te krijgen. Ik denk dat je ofwel direct vast zal lopen met alle oneindigheden, ofwel de interpretatie van je getallen zodanig moet aanpassen dat ze eigenlijk helemaal niets meer met 'getallen' te maken hebben.Een andere mogelijkheid is dat je uitendelijk eigenlijk gewoon de reële getallen opnieuw uitvindt, maar dan in spiegelbeeld geschreven.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Oneindige decimale getallen?

Ik heb er zelf ook een hard hoofd in, en wel om twee redenen:

1. Ik denk hier eigenlijk al mijn leven lang over na.
2. Als er iets leuks mee te doen was zouden anderen dat waarschijnlijk al eerder hebben uitgevogeld.

Maar goed - ik moet dit nu eerst weer eens proberen, voordat ik het (voor een aantal jaren) wel weer geloof. Anders heb ik geen rust... ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.714

Re: Oneindige decimale getallen?

Okee, om te beginnen, voor een willekeurig 'links primitief' getal x, hoe definieer je de som van dat getal met 1? (en met '1' bedoel ik dan het links primitieve getal ....0000001).

In de meeste gevallen zal dit niet moeilijk te definieren zijn, maar het wordt interessant op het moment dat x begint met een oneindig lange reeks van alleen maar negens.

Gebruikersavatar
Berichten: 747

Re: Oneindige decimale getallen?

...000000000 = 0 // links en rechts -1 levert:
...999999999 = -1 // links en rechts delen door 2 geeft: // +½ moet immers weer 0 worden
...999999999,5 = -1/2

...000000000 = 0 // links en rechts -2468 levert:
...999997532 = -2468 // links en rechts delen door 2 geeft: // +1234 moet immers weer 0 worden
...9999998766 = -1234


Is dit waar je op doelt?

Gebruikersavatar
Berichten: 747

Re: Oneindige decimale getallen?

...9999997532 = -2468
...9999998766 = -1234
_________________________ +
...9999996298 = -3702


Het lijkt mij op het eerste gezicht een andere manier om negatieve getallen te beschrijven.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.714

Re: Oneindige decimale getallen?

@kwasie: dat is een mogelijkheid, maar dit lijkt verdacht veel op niets anders dan een alternatieve manier om de reële getallen op te schrijven.

EDIT: of negatieve getallen, zoals je zelf al opmerkte

Gebruikersavatar
Berichten: 616

Re: Oneindige decimale getallen?

Je zou voor
\(a_{i}\)
een series voor bijvoorbeeld pi kunnen invullen. Van pi=3,141592653589..... het leuke is dat de 3 voor de komma dan het kleinste getal word en met de decimalen word het getal steeds groter .....9853562915413.

Gebruikersavatar
Berichten: 747

Re: Oneindige decimale getallen?

100π = 314,1592653589... en wordt dan ...98535629154,13 ?
314 wordt dan ... ?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Oneindige decimale getallen?

Ah - mooi dat dit topic al zoveel reacties losmaakt! :D

Je kunt met de tien-adische getallen (een heel eind heen) rekenen als met gewone decimale getallen, maar die bestaan dus al. Dat is niets nieuws. Zie:

https://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-b ... 1063152550

Ik probeer juist een andere invulling te vinden waarbij je ook echt oneindig grote getallen krijgt.

Gebruikersavatar
Berichten: 747

Re: Oneindige decimale getallen?

Maar dan krijg je toch slechts spiegeling van de notatie?
Van links naar rechts lezen of andersom.

2469 wordt 9642
DHTE <---> ETHD

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Oneindige decimale getallen?

Math-E-Mad-X schreef: ma 08 jun 2020, 15:25 Okee, om te beginnen, voor een willekeurig 'links primitief' getal x, hoe definieer je de som van dat getal met 1? (en met '1' bedoel ik dan het links primitieve getal ....0000001).

In de meeste gevallen zal dit niet moeilijk te definieren zijn, maar het wordt interessant op het moment dat x begint met een oneindig lange reeks van alleen maar negens.
Dat is inderdaad een groot probleem! Als je binnen \( \mathbb{P}l \) blijft loop je immers al snel tegen die bovengrens van ...999 aan. Dat wil ik oplossen door eerst een fraaie equivalentierelatie ~ op \( \mathbb{P}l \) te zoeken, en daarna de door \( \mathbb{P}l / \sim \) voortgebrachte vrije commutatieve algebra te vormen. - Kan dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Oneindige decimale getallen?

kwasie schreef: ma 08 jun 2020, 17:30 Maar dan krijg je toch slechts spiegeling van de notatie?
Van links naar rechts lezen of andersom.

2469 wordt 9642
DHTE <---> ETHD
Wanneer krijg je dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.714

Re: Oneindige decimale getallen?

Professor Puntje schreef: ma 08 jun 2020, 17:33 Dat wil ik oplossen door eerst een fraaie equivalentierelatie ~ op \( \mathbb{P}l \) te zoeken, en daarna de door \( \mathbb{P}l / \sim \) voortgebrachte vrije commutatieve algebra te vormen. - Kan dat?
Alles kan... uiteindelijk is het niets anders dan een verzameling abstracte symbolen waar je een aantal operaties op definieert. Het staat je geheel vrij om een willekeurige operatie te verzinnen. De grote vraag is alleen hoe dicht je bij de oorspronkelijke definitie van de gehele getallen wil blijven, en dat kan alleen jij beantwoorden...

Gebruikersavatar
Berichten: 5.969

Re: Oneindige decimale getallen?

Hoe dicht? Ja - zo dicht mogelijk.

Reageer