Leibniz had it wrong?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Leibniz had it wrong?

Afgelopen nacht een heel rare droom gehad. Iemand had mij een boek in twee delen over Steiners antroposofie aangeraden. Ik had daar niet veel zin in om dat te lezen, want daar weet ik al het een en ander vanaf. En ik heb nog honderden andere boeken staan die ik ook nog wil lezen. Toch maar even gekeken of het wat was, het leek toch wel interessant en vervolgens kwam ik op het punt van de betrouwbaarheid of onbetrouwbaarheid van de Wikipedia, de invloed van het complotdenken, en een verwijzing naar een film genaamd Leibniz Had It Wrong waarin betoogd zou worden dat Leibniz' idee van een differentiaalquotiënt niet klopt omdat er continu differentieerbare functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) bestaan die overal een transcendente functiewaarde hebben. Onze definitie van de afgeleide zou aan dat feit moeten worden aangepast. Daar was ik nog over na aan het denken en over de vraag of men wel begreep dat transcendente getallen niets met esoterie te maken hebben, toen ik wakker werd.

Even in wakkere toestand verder geredeneerd:

Een triviaal voorbeeld van zo'n functie is f(x) = π. Maar dat is niet interessant, en voor continu differentieerbare functies met verschillende functiewaarden a=f(x1) en b=f(x2) zal f volgens de tussenwaardestelling alle waarden tussen a en b aannemen en dus zeker ook een niet-transcendente waarde. Is hiermee de kous nu af, of kunnen we hier toch nog op een of andere manier iets mee?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: za 04 dec 2021, 13:43 Toch maar even gekeken of het wat was, het leek toch wel interessant en vervolgens kwam ik op het punt van de betrouwbaarheid of onbetrouwbaarheid van de Wikipedia, de invloed van het complotdenken, en een verwijzing naar een film genaamd Leibniz Had It Wrong waarin betoogd zou worden dat Leibniz' idee van een differentiaalquotiënt niet klopt omdat er continu differentieerbare functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) bestaan die overal een transcendente functiewaarde hebben. Onze definitie van de afgeleide zou aan dat feit moeten worden aangepast.
Ik heb hier nog nooit van gehoord. Heb je misschien een tekst waar dit probleem in meer detail beschreven wordt?
Ik heb even heel vlug op wikipedia gekeken, maar heb hier zo gauw niets over gevonden.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

Het is mij ook een raadsel waar het vandaan komt, als gezegd het was een droom. Maar omdat er in de wiskunde inmiddels allerhande pathologische functies met tegen-intuïtieve eigenschappen bedacht zijn is het met wat kleine aanpassingen misschien toch niet helemaal onzinnig.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Ah, okee, dus het gaat om een mogelijk probleem dat je zelf (in je droom) bedacht hebt?
Professor Puntje schreef: za 04 dec 2021, 13:43 dat Leibniz' idee van een differentiaalquotiënt niet klopt omdat er continu differentieerbare functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) bestaan die overal een transcendente functiewaarde hebben. Onze definitie van de afgeleide zou aan dat feit moeten worden aangepast.
Ik zie totaal niet in waarom je zou denken dat de definitie van de afgeleide niet consistent zou zijn met het bestaan van zulke functies.

De afgeleide is gedefinieerd via limieten, en die zijn op hun beurt weer gedefinieerd via de epsilon-delta defintie. Waarom denk je dat dit niet correct zou zijn voor functies die overal een transedente functiewaarde hebben?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

In de beschreven vorm is de droom onzin, maar de vraag is of er met wat kleine aanpassingen toch iets van te bakken valt dat wiskundig interessant is. Het eerste wat ik mij afvraag is of er niet-constante continue functies bestaan met enkel transcendente functiewaarden. Kennelijk is dat niet zo voor niet-constante continue functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \), want dan garandeert de tussenwaardestelling dat zulke functies altijd ook nog niet-transcendente functiewaarden moeten hebben. Maar is er wellicht een andere niet-triviale klasse van niet-constante continue functies waarbij de functiewaarden wel altijd transcendent zijn? Verder werkte Leibniz met infinitesimalen, wat er wellicht ook mee te maken kan hebben.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 14:21 Maar is er wellicht een andere niet-triviale klasse van niet-constante continue functies waarbij de functiewaarden wel altijd transcendent zijn?
Ja, bijvoorbeeld de functie \(f\) van \(\mathbb{N}\) naar \(\mathbb{R}\) gegeven door \(f(n) = n \cdot \pi\). Het lijkt me duidelijk dat voor zulke functies de afgeleide inderdaad niet bestaat. Maar dat komt vooral door de topologie van \(\mathbb{N}\) en heeft verder niets met transcendente waarden temaken. Ik had immers ook de functie \(f(n) = n\) kunnen gebruiken.

Het is me sowieso nog altijd niet duidelijk welk verband je nou eigenlijk ziet tussen de transcedentale getallen en de definitie van de afgeleide. Het komt op mij over alsof je hier over twee totaal ongerelateerde onderwerpen tegelijk aan het praten bent.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

Het verband met de afgeleide is mij (in wakkere toestand ;) ) ook nog niet duidelijk. Maar laten we ons nu eerst op het volgende concentreren:

Door als domein \( \mathbb{N} \) te kiezen krijg je een discrete functie, en dan komt de continuïteit in de betekenis van een aaneengesloten kromme voor de grafiek in het gedrang. Dat is dan ook niet de bedoeling. De intuïtie is dat de grafiek van een niet-constante continue functie er normaal gesproken niet onderuit komt om zo nu en dan een punt (x,y) met een niet-transcendente y-waarde te doorlopen. En daaruit ontstaat dan de gedachte of je via een slimmigheidje toch een pathologische niet-constante continue functie kunt construeren waarvan de grafiek enkel en alleen punten (x,y) met transcendente y-waarden doorloopt. Voor functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) gaat dat zoals we gezien hebben niet, maar voor functies uit een andere niet-triviale klasse van functies gaat het mogelijk wel. Het domein van zulke functies moet in elk geval zodanig zijn dat tussen ieder paar ongelijke getallen uit dat domein er andere getallen uit dat domein bestaan die daar qua grootte tussenin zitten. Dat moet wel zo zijn om de mogelijkheid van aaneengesloten lijnen te houden. Dat niet aaneengesloten lijnen enkel door punten (x,y) met transcendente y-waarden kunnen lopen is immers niets bijzonders.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Bedoel je bijvoorbeeld een functie van de volgende vorm:

\(f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}\) met \(f(q) = q \cdot \pi\)

?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

Die zou best eens kunnen kloppen! :D Behalve dan weer voor x=0. :cry:

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 16:54 Dat moet wel zo zijn om de mogelijkheid van aaneengesloten lijnen te houden.
Het vakgebied van de topologie is precies uitgevonden om vage begrippen zoals 'aaneengesloten lijn' te formaliseren.

Wat ik denk dat je bedoelt is dat het domein een open deelverzameling van \(\mathbb{R}\) moet zijn, of een vereniging van zulke verzamelingen. Maar voor zulke domeinen kun je sowieso de tussenwaardestelling stelling toepassen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 17:02 Behalve dan weer voor x=0. :cry:
Dan neem je toch gewoon \( \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) als domein?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

Math-E-Mad-X schreef: ma 06 dec 2021, 17:09
Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 17:02 Behalve dan weer voor x=0. :cry:
Dan neem je toch gewoon \( \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) als domein?
Dat zou kunnen, maar is niet erg elegant. Op een andere manier (met behoud van x=0) moet er ook wel een mouw aan te passen zijn. Bijvoorbeeld:

\( f(q) = (1 +q^2) \cdot \pi \)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

\(f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}\) met \(f(q) = q \cdot \pi + e \cdot \pi\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.845

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 17:12
\( f(q) = (1 +q^2) \cdot \pi \)
Dat kan ook inderdaad... er zijn talloze manieren.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.426

Re: Leibniz had it wrong?

Mooi - dan is de eerste hobbel genomen. De gezochte functies bestaan.

Reageer