15 decimalen pi (π) is genoeg voor rocket science

Moderator: Astro

Reageer
Gebruikersavatar
Beheer
Berichten: 5.846

15 decimalen pi (π) is genoeg voor rocket science

pi.jpeg
Hoewel wereldrecordhouders meer dan 70.000 cijfers van pi hebben onthouden, legt een JPL-ingenieur uit waarom je voor de meeste berekeningen eigenlijk maar een klein deel daarvan nodig hebt - zelfs bij NASA:

Voor JPL's hoogste nauwkeurigheidsberekeningen, die voor interplanetaire navigatie zijn, gebruiken we 3,141592653589793. Laten we dit wat nauwkeuriger bekijken om te begrijpen waarom we niet meer decimalen gebruiken. En met een voorbeeld laten zien dat er geen fysisch realistische berekeningen zijn die wetenschappers ooit uitvoeren waarvoor het nodig is om extreem veel meer decimalen op te nemen... Overweeg deze voorbeelden:

1) Het ruimtevaartuig het verst van de aarde is Voyager 1. Op het moment van schrijven is het ongeveer 23,6 miljard kilometer verwijderd. Laten we genereus zijn en dat 24 miljard kilometer noemen. Stel nu dat we een cirkel hebben met een straal van precies die grootte, 48 miljard kilometer in diameter, en we willen de omtrek berekenen, dat is pi keer de straal keer 2. Met behulp van pi afgerond op het 15e decimaal, zoals ik hierboven gaf, komt dat uit op ruim 150 miljard kilometer. We hoeven ons hier niet bezig te houden met wat de waarde precies is (je kunt het vermenigvuldigen als je wilt), maar wat de fout in de waarde is door niet meer cijfers van pi te gebruiken. Met andere woorden, door pi af te snijden op de 15e decimaal, zouden we een omtrek voor die cirkel berekenen die er een klein beetje afwijkt. Het blijkt dat onze berekende omtrek van de cirkel met een diameter van 48 miljard kilometer minder dan een centimeter verkeerd zou zijn. Denk erover na. We hebben een cirkel van meer dan 150 miljard kilometer en onze berekening van die afstand zou niet meer dan de breedte van je pink afwijken.

2) We kunnen dit dichter bij huis brengen door naar onze planeet, de aarde, te kijken. Het is meer dan 12.700 kilometer in diameter op de evenaar. De omtrek is ongeveer 40.100 kilometer. Dat is hoe ver je zou reizen als je de wereld rond zou reizen - en je geen zorgen zou maken over heuvels, valleien en obstakels zoals gebouwen, oceaangolven, enz. Hoe ver zou je kilometerteller zijn als je de beperkte versie van pi hierboven zou gebruiken? Het verschil zou de grootte van een molecuul zijn. Er zijn natuurlijk veel verschillende soorten moleculen, dus ze omvatten een breed scala aan groottes, maar ik hoop dat dit je een idee geeft. Een andere manier om dit te bekijken is dat uw fout door niet meer cijfers van pi te gebruiken meer dan 30.000 keer dunner zou zijn dan een haar!

3) Laten we naar de grootste omvang gaan die er is: het bekende universum. De straal van het heelal is ongeveer 46 miljard lichtjaar. Laat me nu een andere vraag stellen (en beantwoorden!): hoeveel cijfers van pi hebben we nodig om de omtrek van een cirkel met een straal van 46 miljard lichtjaar te berekenen met een nauwkeurigheid die gelijk is aan de diameter van een waterstofatoom, het eenvoudigste atoom? Het blijkt dat 37 decimalen (38 cijfers, inclusief het getal 3 links van de komma) voldoende zouden zijn. Bedenk eens hoe fantastisch uitgestrekt het universum is. Bedenk nu eens hoe ongelooflijk klein een enkel waterstofatoom is. Is het niet verbazingwekkend dat we helemaal niet veel cijfers van pi nodig zouden hebben om dat hele ongelooflijke bereik te dekken?

Pi is een intrigerend getal met interessante wiskundige eigenschappen. Het is leuk om na te denken over de werkelijk eindeloze reeks cijfers, en het kan verrassend zijn hoe vaak het voorkomt in de vergelijkingen die wetenschappers en ingenieurs gebruiken. Maar er zijn geen vragen - prozaïsch of esoterisch - in de nobele pogingen van de mensheid om de wonderen van de kosmos te verkennen of te begrijpen, van de onvoorstelbaar kleinste schaal tot de onvoorstelbaar grootste, waarvoor heel veel van die cijfers nodig zouden kunnen zijn...

Vrij vertaald vanuit: NASA/JPL via: Massimo op Twitter

Gebruikersavatar
Beheer
Berichten: 5.846

Re: 15 decimalen pi (π) is genoeg voor rocket science

En dan natuurlijk de belangrijkste vraag. Wie rekent dit 'even' na? :)

Berichten: 397

Re: 15 decimalen pi (π) is genoeg voor rocket science

Pi en zijn afronding op 15 resp 37 decimalen:
pi = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 ...
p15 = 3.14159 26535 89793
p37 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 42

1. 2 * 24 000 000 000 000 * (pi-p15) = 0.0114 meter (dus toch nog net iets meer dan 1 cm ...)
2. Als r = 40 100 000 / (2π) = 6 382 113 meter, dan is 2*r*(pi-p15) ≈ 3.04 * 10^(-9) meter = 3.04 nm.
En 30 000 * 3.04 nm = 9.12*10^(-5) meter = 0.0912 mm (wiki: haardikte mens = 0.017 tot 0.18 mm)
3. 2 * 46 000 000 000 * 9 460 730 472 580 800 * (p37-pi) = 2.46 * 10^(-12) meter = 2.46 pm.
(wiki: Bohr straal = 52.9 pm)

Berichten: 3.026

Re: 15 decimalen pi (π) is genoeg voor rocket science

Jorim schreef: do 08 dec 2022, 21:39
pi.jpeg
Hoewel wereldrecordhouders meer dan 70.000 cijfers van pi hebben onthouden, legt een JPL-ingenieur uit waarom je voor de meeste berekeningen eigenlijk maar een klein deel daarvan nodig hebt - zelfs bij NASA:

Voor JPL's hoogste nauwkeurigheidsberekeningen, die voor interplanetaire navigatie zijn, gebruiken we 3,141592653589793.
als je de omtrek van de aarde op de evenaar zou delen door de diameter dan kom je niet exact op pi vanwege de kromming van de ruimtetijd door zwaartekracht. Ik vraag me af vanaf welke decimaal achter de komma het dan niet meer klopt.
Hetzelfde zou je je kunnen afvragen voor een stalen kogel met massa m en diameter d die vrij in de ruimte zweeft.

Reageer