[Column] De schoonheid van wiskunde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 33

[Column] De schoonheid van wiskunde

In mijn columns heb ik al eens eerder mijn bewondering uitgesproken over de wijze waarop de Amerikaanse natuur- en wiskundige Brian Greene enthousiast en inspirerend over wetenschap schrijft en spreekt. Zo was ik twee keer aanwezig bij een presentatie van hem in Amsterdam en heb ik genoten van zijn boeken The Elegant Universe en The Fabric of the Cosmos waarover ook een DVD is gemaakt.

Onlangs is Greene zijn nieuwe boek Until the End of Time verschenen. Het is weer smullen. Hij doet een goede poging ons te laten nadenken over wat de fundamentele wetenschap ons kan vertellen over de wereld en ons leven. Met de titel van het boek doelt hij op het onvermijdelijke einde van het universum. Er zijn enkele opties, maar allemaal hebben ze dezelfde uitkomst. Het houdt een keer op. Eens zullen tijd en ruimte ophouden te bestaan. Dat is het slechte nieuws. Het goede nieuws is dat wij mensen hier nu zijn. Dat is een onvoorstelbaar, gegeven het feit dat er geen plan is. Toch wandelen wij over de aarde als levende wezens met bewustzijn, dromen en idealen. Wezens die van kunst houden, empathie vertonen en het universum stapje voor stapje doorgronden. Het denken van Greene over natuur, cultuur en de rol van de mensheid is stevig verankerd in de zekerheid dat evolutie en entropie (twee danspartners) alles bepalend zijn en dat de natuurwetten kunnen worden beschreven in de taal van de wiskunde.

Naar aanleiding van het uitkomen van zijn boek, werd Greene verschillende malen geïnterviewd. Het interview met wetenschapsjournaliste Faith Salie leverde een boeiend gesprek op waarin Greene bekent dat hij soms geëmotioneerd kan raken als hij zich realiseert dat mooie en eenvoudige wiskundige formules de werking van het universum beschrijven. Hij vertelt dat esthetische oordelen de wetenschappelijke discussie weliswaar niet beslechten, maar dat toch enkele beslissingen van theoretisch natuurkundigen gebaseerd waren op een gevoel van esthetiek, een gevoel dat theorieën een zekere elegantie en schoonheid bezitten. Het zoeken naar schoonheid in wiskundige formuleringen van natuurkundige verschijnselen is regelmatig een sterke gids gebleken voor het verkrijgen van inzicht, aldus Greene.

In zijn verwondering over de schoonheid van de wiskunde staat hij niet alleen. Greene vindt daarin medestanders zoals de Nobelprijswinnaars Albert Einstein (1921), Werner Heisenberg (1932), Paul Dirac (1933), Steven Weinberg (1979) en onze eigen Gerard ’t Hooft (1999). De laatste stelt dat als wij nieuwe theorieën mooi en eenvoudig vinden, wij geloven dat die theorieën een grotere kans op succes hebben. Al is die veronderstelde esthetiek geen garantie voor succes.

Iemand die zich al een tijdje in het publieke debat nogal opwindt over de vooronderstelling dat wiskundige formules die de natuur beschrijven mooi moeten zijn, is de Duitse natuurkundige Sabine Hossenfelder. Over haar boek Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray schreef ik in 2018 de column Sabine Hossenfelder, de Circe van de natuurkunde. Volgens haar leidt de neiging in de theoretische natuurkunde om de werkelijkheid in mooie wiskundige formules te vangen, tot stagnatie in de ontwikkeling van de kennis van hoe de natuur in elkaar steekt.

Ze verhult niet dat haar weerzin tegen schoonheid als leidende factor, mede is terug te voeren op de uiterst stroperige ontwikkeling van de natuurkunde van de laatste decennia. Na de doorbraken van meer dan honderd jaar geleden van de algemene relativiteitstheorie (Einstein) en kwantummechanica (Bohr) is er eigenlijk weinig opzienbarends gebeurd. In tegendeel. Om hun sommen kloppend te krijgen hebben natuurkundigen en kosmologen hun toevlucht moeten zoeken tot bedachte en onbewezen fenomenen zoals donkere energie en donkere materie. De unificatie van alle krachten en deeltjes lijkt nog steeds ver weg. De ontwikkeling van ideeën over kwantumgravitatie, multiversa, snaartheorie, supersymmetrie, etc. komen niet verder dan het niveau van onverifieerbare hypothesen. Een serieus probleem is dat de hypothesen niet met waarnemingen en experimenten kunnen worden getoetst. Dat geeft een ongemakkelijk gevoel. Enkelen gaan zelfs zo ver dat zij het pseudowetenschap noemen. Dat gaat mij te ver.

Hossenfelder lijkt enigszins gefrustreerd als ze in haar boek onder het kopje Where beauty lies schrijft: “De triomfen van de laatste eeuw liggen nog vers in het geheugen van de onderzoekers die nu hun pensioen naderen. Hun aandacht voor schoonheid heeft grote invloed op de volgende generatie, mijn generatie, de onsuccesvolle generatie. Wij werken met de nu geformaliseerde esthetische idealen uit het verleden: symmetrie, unificatie en naturalness (de orde van grootte van natuurkundige constanten mag niet te veel verschillen).” In tegenstelling tot wat de Nobelprijswinnaars vinden, is volgens Hossenfelder schoonheid een verraderlijke gids die natuurkundigen al meerdere malen het bos heeft ingestuurd.

Voor deze somberheid is bij Greene geen plaats. Hij heeft het vaste vertrouwen dat de mensheid in de naaste toekomst de opbouw en kenmerken van het universum verder zal doorgronden. Uiteraard is er geen zekerheid of die kennisvermeerdering opnieuw in mooie wiskundige formuleringen kan worden gegoten die emoties opwekken. In het al genoemde interview met Faith Salie vertelt Greene hoe hij geëmotioneerd raakte door de schoonheid van een wiskundige formule toen hij voor het eerst de relatief eenvoudige vergelijkingen van Einsteins algemene relativiteitstheorie begreep. “To see the deep truth, describing the evolution of the universe.”

Ik herken het emotionele gevoel dat wiskunde kan oproepen. Sta mij toe dat toe te lichten met mijn eigen ervaring. Lang geleden (1976) studeerde ik als toegepast wiskundige af op de Technische Universiteit Delft (TUD) op een vliegtuigbouwkundig onderwerp. Mijn opdracht was uit te rekenen of het voor het verbeteren van het comfort van de passagiers tijdens turbulentie (bumpy ride) de moeite loonde een vliegtuig uit te rusten met een zogenaamde Laser Doppler Snelheidsmeter die twintig meter voor het vliegtuig de luchtsnelheid ten opzichte van het vliegtuig meet. Deze informatie kan in een automatische regelaar (auto pilot) worden gestopt die vervolgens uitrekent hoe de hulpkleppen moeten bewegen om de bewegingen van het vliegtuig te dempen. Dat heet een remousresponsiedempingssysteem.

Als vliegtuig koos ik de inmiddels legendarische Fokker F27 Friendship omdat het Nederlands Lucht- en Ruimtevaartcentrum (NLR) daar al eens eerder in het kader van turbulentie aan had gerekend. Halverwege de tachtiger jaren van de vorige eeuw bestonden er nog geen krachtige digitale computers. Bij het NLR maakte men gebruik van analoge computers die met elektrische stroompjes werken. Omdat de spanning binnen de 10 Volt moeten blijven, werden alle variabelen met een of meer factoren van tien geschaald. Vervolgens gebruikte men de Monte Carlosimulatie methode. Dat wil zeggen dat men met de analoge computer een groot aantal identieke vluchten berekende waarbij de vliegtuigbewegingen werden beïnvloed door willekeurige (stochastische) turbulentie. Vervolgens werden van al die vluchten de waarden van variabelen zoals snelheid, invalshoek en verticale versnelling vergeleken. Daaruit volgden het gemiddelde en de standaarddeviatie, een maat van de afwijkingen van het gemiddelde. Dat was alles bij elkaar een hele klus, met een redelijke kans op het maken van fouten.

De aanpak waarvoor ik op aanraden van mijn begeleiders koos, was totaal, maar dan ook totaal anders. Ik maakte gebruik van de digitale computer en de lineaire systeemtheorie. De computer was de IBM System/360 van het rekencentrum van de TUD. Voor nostalgieliefhebbers: deze ene ‘grote’ digitale computer voor de hele TU-gemeenschap had een geheugen van 256 kB en vier registers van 64-bits voor drijvende kommaberekeningen. Ik stopte de aerodynamische gegevens van de Friendship in een wiskundig model dat aansloot bij de relatief nieuwe theorie zoals die stond beschreven in het boek Linear Optimal Control Systems. Mijn afstudeerhoogleraar Huibert Kwakernaak was een van de auteurs. Na alle vergelijkingen en gegevens keurig met ponskaarten te hebben ingevoerd, werden de resultaten door enkele subroutines voor het oplossen van matrixvergelijkingen berekend.

Toen ik op zekere ochtend bij het rekencentrum voor het eerst een uitdraai zonder foutmeldingen bij mijn ponskaartenbakje aantrof, was ik uiterst gespannen. Mijn uitkomsten moesten ergens in de buurt liggen van die van het NLR. Met klamme handjes legde ik mijn cijfers naast die van het NLR en … die waren exact hetzelfde, tot de fameuze vier cijfers achter de komma. Ik werd overspoeld door gevoelens variërend van blijdschap, verbazing, ongeloof tot ontzag. Plotseling was ik mij zeer bewust van de exactheid en de schoonheid van de wiskunde. Dat moment zal ik nooit meer vergeten.

Ondanks dat uit mijn berekening bleek dat door het toepassen een systeem van de Laser Doppler Snelheidsmeter en een speciale auto pilot het comfort aanzienlijk kan worden verbeterd en de passagiers dus minder vaak naar de kotszakken hoeven te grijpen, is het naar mijn weten nooit toegepast.

Nog even terug naar de discussie over de schoonheid van de wiskunde. Het is wonderbaarlijk hoe de mensheid, steeds beter in staat is de wereld om ons heen te beschrijven met wiskundige formuleringen. De universele toepasbaarheid van de wiskunde roept vaak de vraag op of de wiskunde een door mensen bedachte constructie is of dat de wiskunde er altijd was en er altijd zal zijn. In mijn column De wereld als formule heb daar al eens iets over geschreven. Of wiskunde door mensen wordt ontwikkeld of ontdekt, in beide gevallen hebben wij genieën als Newton, Einstein en Bohr nodig om zo nu en dan weer een tipje van de grote sluier op te lichten. De ontwikkeling van de Siamese tweeling wis- en natuurkunde is vaak een bumpy ride. Helaas kunnen wij het niet makkelijker maken, maar gelukkig wel leuker. Daarbij zijn enthousiaste uitleggers als Brian Greene onmisbaar.

Reageer