Aanloop tot enkele modellen

[317070]

Hallo,

Ik heb besloten om me volgend jaar eens te verdiepen in de wiskundige kant van enkele natuurkundige theorieën, die ik nu helaas alleen van de populair-wetenschappelijke kant ken/kan. Ik zou graag het symmetrie-argument voor de behoudswetten begrijpen, en de kaluza-klein theorie. Misschien ook de exceptionally simple theory of everything (met de E8-groep).

Maar de wiskundige bagage daarvoor heb ik helaas niet. Maar ik vraag me af waar ik moet gaan zoeken? Ik heb al gekeken rond wiskundige groepentheorieën, maar ook manifolds, Lie-algebra, en die lijken allemaal precies aan elkaar te hangen.

Dus schiet ik hier de vraag af. Is er iemand die weet of een vermoeden heeft waar ik van start zou moeten gaan? Ik heb een stevige basis in wiskundige analyse (stelling van Gauss, divergentiestelling,...), met een vrij degelijke kennis van Algebra (kernen, beelden, rangen, enz.). Waar (aan) zou ik moeten beginnen?

[mathfreak]

Een mogelijke aanpak is om per discipline na te gaan welke wiskundige bsasisbegrippen daar precies aan ten grondslag liggen, en aan de hand van die basisbegrippen de nodige informatie te zoeken.

[Bartjes]

Ik ben zelf gestruikeld over het tensor-begrip. Dat is heel belangrijk voor de wiskundige kant van de (algemene) relativiteitstheorie. Vaak wordt dat "uitgelegd" als dingen waar je zus en zo mee rekent. Wat ik mij dan afvraag is waarom dat zo is, hoe je bewijst dat dat klopt, en wat tensoren zijn. Voor getallen, functies, vectoren, matrices, differentiaalquotiënten, integralen e.d. kan ik mij een voldoende helder beeld vormen. (Hoewel je bij consequent doorvragen altijd op een punt komt waar je alleen nog maar kan antwoorden "dat je daar nu eenmaal van uit gaat".) Bij tensoren kan ik mij vooralsnog niets voorstellen. Een goede uitleg van tensoren lijkt mij daarom zeer belangrijk. Zou ik zelf ook wel eens willen zien. :eusa_whistle:

[mathfreak]

Zie voor een nadere uitleg http://nl.wikipedia.org/wiki/Tensor

[Bartjes]

Zie voor een nadere uitleg http://nl.wikipedia.org/wiki/Tensor

Kan je tensoren beschouwen als elementen van het tensorproduct van vectorruimten, zoals hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_produc...f_vector_spaces

Hebben de daar vermelde sommen een formeel karakter? Is het product daarin een scalair product? En moeten bijvoorbeeld daarbij (2,4) en (4,8) als lineair onafhankelijk gerekend worden?

[da_doc]

Symmetrie en behoudswetten: http://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem

[mathfreak]

Kan je tensoren beschouwen als elementen van het tensorproduct van vectorruimten?

Ja, het gaat dan om een tensorproduct van identieke vectorruimten. Zie ook hoofdstuk 16 in Mathematics for Physics & Physicists van Walter Appel.

[Bartjes]

Zie ook hoofdstuk 16 in Mathematics for Physics & Physicists van Walter Appel.

Op het internet kan ik niet veel over dat boek vinden. Wel een ander boek waarin een definitie van tensoren gegeven wordt die ik begrijp:

http://books.google.nl/books?id=qhDFuWbLlg...;q=&f=false

Ik mag aannemen dat een dergelijke definitie ook werkt?

[DePurpereWolf]

Ik kreeg op het eerste jaar van mijn Master studie met tensors te maken, ik schrok me een hoedje. Ik had toen een oud boekje (van 1970 ofzo) uit de bibliotheek gehaald, enkel over tensors. en dat werkte goed.

Ik wil niet te simpel klinken, en misschien zijn er mensen die er meer vanaf weten. Maar ik meen dat men tensor gebruikt vooral omdat het het schrijven en berekenen er op vergemakkelijkt. Een tensor is in principe een matrix (of vector) maar behalve in de materiaalkunde moet je daar niet te moeilijk over denken. Het is ten eerste een opschrijfmethoden. Differentiëren met tensors gaat ook makkelijker.

Als je het eenmaal onder de knie hebt, en vooral met de Einstein notatie, dan kan tensor algebra heel makkelijk en overzichtelijk zijn. Maar het is voor mij erg abstract.

[Bartjes]

Ik kreeg op het eerste jaar van mijn Master studie met tensors te maken, ik schrok me een hoedje. Ik had toen een oud boekje (van 1970 ofzo) uit de bibliotheek gehaald, enkel over tensors. en dat werkte goed.

Ik denk dat het mij met het boekje van Schutz van de eerder gegeven link gaat lukken. Nu is het gewoon nog een kwestie van veel studie en oefening. Dank voor de tips allemaal. :eusa_whistle:

[317070]

Tensoren heb ik nog (vlug) behandeld, een soort van matrixen met enkele extra eigenschappen, toch?

Maar terug on topic: ik heb een lijstje samengesteld:

1 introductie in Groep-theorie

2 Een les in Groep-theorie

3 Lie-Groepen, fysica en geometrie voor de ingenieur of chemicus

4 Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (Frontiers in Physics)

Zou dit lukken?

[Bartjes]

Maar terug on topic: ik heb een lijstje samengesteld:

1 introductie in Groep-theorie

2 Een les in Groep-theorie

3 Lie-Groepen, fysica en geometrie voor de ingenieur of chemicus

4 Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (Frontiers in Physics)

Zou dit lukken?

Een klassiek boek is nog:

http://books.google.nl/books?id=jQbEcDDqGb...;q=&f=false

Succes!

[Phys]

@317070: boek 1 en 2 over groepentheorie zijn pure mathematische verhandelingen. Deze gaan veel, veel verder dan datgene dat daadwerkelijk in de natuurkunde wordt gebruikt [matrixgroepen en Liegroepen zijn de voornaamste; een onderwerp als Sylow's theorems is helemaal niet interessant voor fysici]. Dat is leuk als je geïnteresseerd bent, maar als je het puur voor de natuurkunde doet is het tijdverspilling en kun je beter een boek nemen dat zich richt op natuurkundige toepassingen.

@bartjes: je kunt tensoren heel abstract (wiskundig) definiëren als elementen van een tensorruimte zoals aangegeven in de wikipedialink, of simpel als 'een object dat transformeert volgens een bepaalde regel'. Het laatste wordt vaak gedaan bij natuurkundecursussen. Schutz is een goed boek dat een soort middenweg bewandelt en de geometrische eigenschappen benadrukt zonder zich in abstracties te verliezen. Het zien van een tensor als 'een soort matrix' is in ieder geval niet goed, en wordt geheel nutteloos zodra je tensoren gebruikt anders dan in heel eenvoudige gevallen (3x3-matrices zoals de traagheidsmoment-tensor (inertia tensor)).

[Bartjes]

Schutz is een goed boek dat een soort middenweg bewandelt en de geometrische eigenschappen benadrukt zonder zich in abstracties te verliezen.

Hartelijk dank. Dan houd ik het bij Schutz.