Pagina 1 van 5

cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 18:07
door ukster
De cycloïde is de curve van snelste daling tussen twee punten A en B, waarbij B lager dan, maar niet recht onder A ligt, waarover een wrijvingsloos glijdend voorwerp binnen zo kort mogelijke tijd van het begin- naar het eindpunt beweegt, onder invloed van de zwaartekracht.
Cycloide.png
Cycloide.png (29.05 KiB) 2670 keer bekeken
Bijzonderheid: Een object kan overal op de cycloïde worden geplaatst en het zal in dezelfde tijd in B terecht komen!
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) naar B(10m,-2m) te gaan.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Hier kom ik niet uit!

Re: cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 18:42
door Xilvo
Wat is de vergelijking van dat stuk cycloïde precies? Gaat het van het hoogst mogelijke punt bij A naar een horizontaal stuk bij B?
Als je een voldoende klein stukje neemt wordt het nagenoeg een rechte lijn en dan gelden de zaken die je noemt natuurlijk zeker niet.

Re: cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 18:50
door ukster
Nu je het zegt! dat apparaat geeft niet echt goed de vorm van een cycloïde weer :)
Maple sim.png
Maple sim.png (11.17 KiB) 2631 keer bekeken
Onder 'Brachistochrone' is hierover van alles te vinden..

die bijzonderheid gaat alleen op als inderdaad bij B (bijna) horizontaal eindigt..

Re: cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 19:58
door megabon

Re: cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 20:02
door ukster
Mooi,ik vond deze ook al behoorlijk verhelderend...

Re: cycloide

Geplaatst: do 14 nov 2019, 20:25
door ukster
dit zijn de mogelijke vormen afhankelijk van x en y
mogelijkheden.png
van A(0,0) naar B(10m,-2m) zal de laatste van de drie zijn.....

Re: cycloide

Geplaatst: vr 15 nov 2019, 14:48
door tempelier
ukster schreef: do 14 nov 2019, 20:02 Mooi,ik vond deze ook al behoorlijk verhelderend...
Hij noemt Newton als de bedenker.
Maar volgens mijn was Huygens eerder.

Komt wel vaker voor dat Newton niet de eerste was, maar het hem wel wordt toegedicht.

Re: cycloide

Geplaatst: vr 15 nov 2019, 15:08
door tempelier
Xilvo schreef: do 14 nov 2019, 18:42 Wat is de vergelijking van dat stuk cycloïde precies? Gaat het van het hoogst mogelijke punt bij A naar een horizontaal stuk bij B?
Als je een voldoende klein stukje neemt wordt het nagenoeg een rechte lijn en dan gelden de zaken die je noemt natuurlijk zeker niet.
In Cartesische coördinaten bedoel je?

Dit is die voor de normale cycloïde.


\(\large
x=r\arccos\bigl( 1-\frac{y}{x} \bigr) - \sqrt{ y(2r-y) } \)


Met r de straal van de rollende cirkel.
Erg handzaam lijkt hij me niet.

Re: cycloide

Geplaatst: vr 15 nov 2019, 15:19
door ukster
Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.
Acta Eruditorium.png
Acta Eruditorium.png (29.13 KiB) 2456 keer bekeken
Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 10:38
door Rik Speybrouck
ukster schreef: vr 15 nov 2019, 15:19 Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.
Acta Eruditorium.png
Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!
Hallo ik heb een berekening gemaakt voor een cycloide opgebouwd op basis van een cirkel met een straal van 1 meter en dan kom ik op volgende waarden
via rechte lijn 3.42 seconden
via cycloide 2.51 seconden
dit zijn de waarden om tot op het laagste punt van de boog te komen

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 12:03
door Rik Speybrouck
ukster schreef: vr 15 nov 2019, 15:19 Johann Bernoulli stelde het probleem van de brachistochrone voor de lezers van Acta Eruditorum in juni 1696.
Acta Eruditorium.png
Hij zei: Ik, Johann Bernoulli, spreek de meest briljante wiskundigen ter wereld aan. Niets is aantrekkelijker voor intelligente mensen dan een eerlijk, uitdagend probleem, waarvan de mogelijke oplossing bekendheid zal geven en als een blijvend monument zal blijven. In navolging van het voorbeeld van Pascal, Fermat, enz., Hoop ik de hele wetenschappelijke gemeenschap dankbaar te maken door voor de beste wiskundigen van onze tijd een probleem voor te stellen dat hun methoden en de kracht van hun intellect zal testen. Als iemand me de oplossing van het voorgestelde probleem meedeelt, zal ik hem publiekelijk lofwaardig verklaren
Bernoulli schreef de probleemstelling als:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, wat is de curve die wordt opgespoord door een punt dat alleen wordt beïnvloed door de zwaartekracht, die begint bij A en B in de kortste tijd bereikt.

Het gaat mij eigenlijk hierom:
Over de rechte duurt het 3,25 sec om van A(0,0) in B(10m,-2m) te komen.
In welke tijd lukt dat langs het cycloïdetraject? Ik kom er niet uit!
Sorry moet 1.003 seconden zijn voor cycloide

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 13:22
door Rik Speybrouck
het is gewoon (wortel van r/g )*pi

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 15:48
door ukster
MAPLE heeft aan dit onderwerp een (interactieve) simulatie gewijd.ik kan hiermee punt B overal naar toe slepen en Maple geeft benodigde de tijd langs de rechte en langs de cycloïde voor een verplaatsing van A(0,0) naar B(10,-2)
Maple sim.png
Zoals je ziet in het 1e plaatje heeft de massa op de cycloïde op tijdstip 1,44s al een geruime voorsprong op die langs de rechte.
De benodigde tijd langs rechte om in B te komen is 3,27 s
De benodigde tijd langs de cycloïde om in B te komen is 'slechts' 1,96 s
Gezien de reputatie van 'MAPLE' neem ik aan dat dit de realiteit is.

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 16:26
door Rik Speybrouck
ukster schreef: za 16 nov 2019, 15:48 MAPLE heeft aan dit onderwerp een (interactieve) simulatie gewijd.ik kan hiermee punt B overal naar toe slepen en Maple geeft benodigde de tijd langs de rechte en langs de cycloïde voor een verplaatsing van A(0,0) naar B(10,-2)
Maple sim.png
Zoals je ziet in het 1e plaatje heeft de massa op de cycloïde op tijdstip 1,44s al een geruime voorsprong op die langs de rechte.
De benodigde tijd langs rechte om in B te komen is 3,27 s
De benodigde tijd langs de cycloïde om in B te komen is 'slechts' 1,96 s
Gezien de reputatie van 'MAPLE' neem ik aan dat dit de realiteit is.
ik heb gewerkt met een cirkel met een straal van 1 meter tot op het laagste punt

Re: cycloide

Geplaatst: za 16 nov 2019, 16:28
door Rik Speybrouck
overal vindt je toch de formule (wortel van r/g)*pi voor volledig beneden