Fatale wiskundige slordigheden

[Marko]

In het betreffende topic mag het niet meer, maar de vraag is nog steeds onbeantwoord. Dus ik stel hem hier nogmaals.

PP beweert dat natuurkundigen en technici hun kop in het zand steken voor "allerlei wiskundige haken en ogen" en hij beweert dat ze daarmee weg kunnen komen "omdat het meestal goed gaat". Hij maakt de vergelijking met rijden zonder veiligheidsgordel.

Echter, gevallen-met-slechte-afloop ten gevolge van niet dragen van de veiligheidsgordel zijn gedocumenteerd, en de feiten maken keihard duidelijk dat het niet altijd goed gaat en ook hoe vaak dat gebeurt én wat de gevolgen zijn, zie bijvoorbeeld hier.

Gevraagd naar dergelijke gevallen binnen de natuurkunde komt "PP" met een artikel dat - samengevat - bespreekt

how the lack of mathematical concern can readily lead to surprising mathematical contradictions in wave mechanics

Dit artikel beschrijft keurig hoe je binnen wiskundig volkomen toelaatbare domeinen en wiskundig volkomen toelaatbare handelingen tot wiskundig tegenstrijdige resultaten kunt komen. Echter, deze voorbeelden zijn relevant voor de vraag of om aan te tonen hoe gevaarlijk of slecht het kop-in-het-zand-steken van natuurkundigen en technici nu eigenlijk is. Het beschrijft nergens hoe een natuurkundige, bij het toepassen van zijn wiskundig slordig afgeleide theorie, tot resultaten zou komen die niet in overeenstemming zijn met de waarneming. Vandaar dus nogmaals de vraag, concreet en specifiek:

Zijn er gevallen waarin een natuurkundige theorie, die verder prima leek te werken, tot voorspellingen komt die niet in overeenstemming zijn met waarnemingen, omdat er bij het afleiden van de theorie stappen zijn genomen die wiskundig formeel genomen niet zijn toegestaan?

Ik bedoel: de beste manier om iemand te overtuigen is door aan te geven hoe iets voor hem of haar van belang is. Niet door aan te geven wat jij van belang vindt.

En als we het dan toch over de kop in het zand steken hebben: je kunt tegen de struisvogel zeggen "je moet niet je kop in het zand steken als er gevaar dreigt", maar die struisvogel zal dan zeggen "ik steek mijn kop in het zand omdat ik naar eten aan het scharrelen ben. Ik heb de leeuw gezien maar leeuwen vallen struisvogels nooit aan; te veel moeite voor te weinig vlees. Bovendien zijn wij te snel en we bijten zelf ook behoorlijk hard. Voor mij dreigt er geen gevaar, maar jij kunt misschien beter gaan rennen."

[OOOVincentOOO]

Dat klinkt mij als het volgende:

"Je mag alleen kijken naar wiskunde maar niet gebruiken???"

Met zo een instelling kom je nergens.

In de wiskunde kent men ook deelgebieden. Sommige houden zich bezig met bewijzen en definities (wat ook tot total onleesbare teksten leid zoals een wetboek). Anderen daarentegen gespecialiceerd in het toepassen. Natuurljk overlappen beide met een hoop grijze gebieden. Je hebt beide nodig anders kom je nergens.

Hangt natuurlijk af van je eigen instelling:

"Je kunt altijd iets vinden wat niet complete bewezen/begrepen is. Oh dan mag ik het niet gebruiken. Volgens mij mag je dan niets gebruiken binnen de wiskunde. Positieve van deze instelling: Geen vieze handen en makkelijk commentaar geven vanaf het balkon."

Als je alleen mag kijken naar wiskunde dan zou de wiskunde niet zover zijn dan hij nu is. Moet je dan wachten totdat Riemam Hyphothese is opgelost voordat je het mag gebruiken?

[die hanze]

Denk dat het gewoon kwestie van specialisatie is. Er is gewoon zoveel om te leren dat de meeste natuurkundigen niet alles perfect wiskundig correct kan afleiden. Er zijn zeker mathematische fysici die zich wel met deze materie bezighouden, ze gaan gewoon beginnende studenten niet direct lastigvallen met de perfect wiskundig verantwoorde uitleg want het moet vooruitgaan, je hebt slechts 5 jaar om af te studeren.

Een gelijkaardig "probleem" kun je stellen in de chemie, dat zij de echte chemie(QM) niet begrijpen en constant gebruik maken van vuistregels om tot snelle resultaten (die wel kloppen) te komen. Er zijn trouwens best chemici die hun QM zeer goed begrijpen en echt onderzoek doen naar het precieze verloop van een reactie maar daar kunnen ze beginnende chemie studenten niet leren natuurlijk.

Ironisch ook dat iemand die al zo lang in de sectie QM allerlei berichten post klaagt over wiskundige losbandigheid in een topic dat hij zelf start waar hij wil leren hoe de bra ket notatie werkt.

[flappelap]

Ironisch ook dat iemand die al zo lang in de sectie QM allerlei berichten post klaagt over wiskundige losbandigheid in een topic dat hij zelf start waar hij wil leren hoe de bra ket notatie werkt.

Want?

[flappelap]

Daarom had ik het ook over vrijheidsgraden....

Dat de Newtonse mechanica niet deterministisch is wordt bewezen door het tegenvoorbeeld van "Norton's dome". Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Norton%27s_dome

Het steven naar een wiskundig exacte natuurkunde wordt belichaamd in het specialisme van de mathematische fysica. Dat daar een apart specialisme voor in het leven is geroepen zegt eigenlijk al genoeg...

Is dat argument niet gewoon het wiskunde feit dat differentiaalvergelijkingen onder bepaalde omstandigheden geen unieke oplossingen kennen?

[Professor Puntje]

Daarom had ik het ook over vrijheidsgraden....

Dat de Newtonse mechanica niet deterministisch is wordt bewezen door het tegenvoorbeeld van "Norton's dome". Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Norton%27s_dome

Het steven naar een wiskundig exacte natuurkunde wordt belichaamd in het specialisme van de mathematische fysica. Dat daar een apart specialisme voor in het leven is geroepen zegt eigenlijk al genoeg...

Is dat argument niet gewoon het wiskunde feit dat differentiaalvergelijkingen onder bepaalde omstandigheden geen unieke oplossingen kennen?

Ja - dat klopt. Het voorbeeld van Norton's dome laat zien hoe men door een scherpe wiskundige analyse tot verrassende inzichten kan komen die ingaan tegen diepgewortelde overtuigingen die in tal van leerboeken zijn terug te vinden.

Zijn dergelijke misvattingen fataal? Waarschijnlijk niet. De kans dat men in de praktijk met Norton's dome te maken krijgt is nihil, en ondeugdelijke wetenschapsfilosofische inzichten leiden ook maar zelden tot ongelukken. Ik heb nooit anders beweert. Marko speelt hier weer het bekende stroman-spelletje. Maar hij kan hoog of laag springen, ik zal verder geen tijd aan zijn geneuzel verdoen.

[tempelier]

Daarom had ik het ook over vrijheidsgraden....

Dat de Newtonse mechanica niet deterministisch is wordt bewezen door het tegenvoorbeeld van "Norton's dome". Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Norton%27s_dome

Het steven naar een wiskundig exacte natuurkunde wordt belichaamd in het specialisme van de mathematische fysica. Dat daar een apart specialisme voor in het leven is geroepen zegt eigenlijk al genoeg...

Is dat argument niet gewoon het wiskunde feit dat differentiaalvergelijkingen onder bepaalde omstandigheden geen unieke oplossingen kennen?

Unieke oplossingen is iets wat onder de rekenkunde een eis is.
In het gebied buiten de rekenkunde is het meestal uitzondering.

PS.
Differentiaal vergelijking hebben maar hoogst zelden een unieke oplossing.

[Professor Puntje]

Heel het probleem van het determinisme draait om het (al dan niet) bestaan van een unieke oplossing voor de evolutie van een systeem. Dat is dus hier dus zeer relevant.

[Marko]

Een paar kanttekeningen bij het stuk van Norton:

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet. Het is aan de natuurkundige om op basis van begin- en randvoorwaarden die oplossing te kiezen die overeenstemt met de werkelijkheid. Dat is immers wat de natuurkunde doet: beschrijvingen van waarnemingen opstellen. Het verband met determinime ontgaat mij enigzins. Het is toch niet omdat de wiskundige vorm van de tweede wet van Newton meerdere oplossingen toestaat, dat een object op een wrijvingsloze koepel automatisch, zonder verdere aanleiding en willekeurig een van de mogelijke oplossingen kiest?

2. Norton claimt dat de eerste wet van Newton de geldigheid van de tweede oplossing niet in de weg staat. Hij doet dat aan de hand van de interpretatie dat "remain in rest" betekent dat F = 0 op tijdstip t iets zegt over de accelleratie (tweede afgeleide) in tijdstip t. Maar dat is een interpretatie. "Remain in rest" kun je ook interpreteren als "moet daar blijven als op die plaats geen netto kracht wordt uitgeoefend" of wiskundig vertaald, dat ook de hogere afgeleiden daar 0 moeten zijn. Persoonlijk vind ik die interpretatie beter passen bij het woord "remain"

3. Norton spreekt met geen woord over de derde wet van Newton. Maar als die bal zonder aanleiding een willekeurige kant op begint te rollen, dan lijkt mij dat impulsbehoud te schenden.

Verder een heel aardig artikel en interessante discussie, maar het beantwoordt niet de vraag. De vraag had betrekking op een discrepantie tussen theorie en waarneming, die het gevolg is van wiskundig slordig afgeleid zijn van die theorie. Het is gewoon een vraag, naar een onderbouwing van de stelling:

Daarbij gaat die houding van niet willen weten meestal goed, het is zoiets als rijden zonder veiligheidsgordel. Ook dat leert men mensen die het niet zo nauw nemen maar moeilijk af. Zolang het goed gaat, gaat het immers goed...

De bewering is concreet dat het meestal goed gaat; dat impliceert dat er gevallen zijn waarin het niet goed gaat, anders had er wel "die houding gaat altijd goed" gestaan. Ik vraag simpelweg naar een voorbeeld van zo'n geval. Dat Norton's dome in de praktijk niet snel zal voorkomen is voor mij geen bezwaar; de koepel zou geconstrueerd kunnen worden, wrijving kan worden weggenomen of grotendeels beperkt. Het zal lastig zijn maar dit leent zich voor experimentele verificatie. Mijn bezwaar is wél dat die verificatie er niet is, of in ieder geval, dat er niet naar verwezen wordt.

En misschien zijn er andere praktijkgevallen die vergelijkbaar zijn, in de zin van: meerdere oplossingen mogelijk, het is niet duidelijk welke oplossing gekozen zou moeten worden. En in het ideale geval: als men zou doen wat (in dergelijke situaties) binnen de natuurkunde gangbaar is, komt men op oplossing A, maar oplossing B is degene die overeenstemt met de waarneming. Ik weet niet of deze er zijn en vraag er naar.

In dat licht vind ik het jammer dat het meteen over stromannen gaat.

[tempelier]

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Dat is niet waar, ik snap wat je bedoelt maar het is wel verkeerd geformuleerd.

PS.
Goed voorbeeld van P.P. bedoelde.

[flappelap]

Deze discussie geldt natuurlijk ook voor wiskundigen. Veel van Eulers "bewijzen" zouden volgens mij tegenwoordig niet meer doorgaan als bewijs. En iemand als Ramanujan was ook erg intuitief ingesteld. Intuitie is erg belangrijk in de exacte vakken; ik zou zelfs zeggen dat het vaak belangrijker is dan de vaardigheid om alles te formaliseren.

We kunnen ook nog het omgekeerde geval bekijken: heeft een gebrek aan rigoriteit de wetenschappelijke ontwikkeling versnelt? Het gebrek aan een formalisering van infinitesimalen, het begrip convergentie, interacterende kwantumveldentheorie in 3+1 dimensies, hun toepassingen in zuiver wiskundige vraagstukken (knopentheorie, Wittens Fields-medaille werk...)

Wat "rigoreus" is, is ook nog eens tijdsafhankelijk.

[Professor Puntje]

De wiskunde wordt vaak voorgesteld als een gebouw dat op eeuwige en ontwijfelbare fundamenten is opgetrokken, maar dat beeld is historisch gezien inderdaad onjuist. Het gebouw inclusief de fundamenten is aan voortdurende revisie onderhevig, en tegelijk wordt er ook nog aan verder gebouwd.

Er zijn gradaties van rigoureusiteit, en waar iemand zich in verdiept is mede afhankelijk van zijn karakter.

In de context of discovery kan een rigoureuze instelling zeker remmend werken.

[kwasie]

Als we iets meer van het hogere theoretische/natuurkundige afstappen en naar wat technische/praktische toepassingen kijken. Dan zijn er wel degelijk voorbeelden te vinden waar verkeerde aannamen voor fatale uitkomsten hebben gezorgd.

Zo was er tijdens de bouw van twee boven elkaar hangende loopbruggen de bedoeling dat elk loopgedeelte aan dezelfde kabel zou hangen (situatie links), alles netjes berekend en prima. Maar toen wouden ze het toch anders doen (situatie rechts) niemand zag zou gauw een probleem, de kabel was immers sterk genoeg. En zo werd het gemaakt.

Brug.png (2.58 KiB) 4849 keer bekeken

Zie je de fout al? 114 mensen overlijden omdat er niet even werd nagegaan langs welke componenten de last moet om in de aarde opgenomen te worden. De oorspronkelijke bevestiging voor de loopbrug wordt twee keer zo zwaar belast. De hele onderste loopbrug stoot nu immers af op de bevestiging (meest rechter moer), terwijl die doorberekend is op het gewicht van slechts één brug.

Een ander voorbeeld: bij Citicorp Center liep het goed af.
Een architect had een wolkenkrabber in New York in gedachte en toen het ontwerp al helemaal doorgerekend was, moesten de draagkolommen toch op een andere plek. De constructeur kwam met een oplossing en het pand werd gebouwd. Een student die onderzoek deed naar het betreffende gebouw, begreep iets in het ontwerp niet. Ze nam contact op met de betreffende constructeur en die besefte dat hij een fout had gemaakt. Verbindingen die normaal op druk belast zouden worden, werden bij een wind van 110 km/uur toch ook op trek belast. De aanpassingen aan de verbindingen werden 's nachts gedaan om paniek te voorkomen. Had er iets meer dogma of arrogantie bij de constructeur aanwezig geweest, dan had het anders uit kunnen pakken.

Bijna alle technische kennis en toepassingen die je om je heen ziet zijn betaald met mensenlevens. Ramen in vliegtuigen zijn rond omdat er mensen zijn dood gegaan toen ze nog vierkant waren.

Het gaat dan misschien niet zozeer over hoe rigoureus de theorie is, maar meer over de nalatigheid van het gebruik ervan. Echter is het wel zo dat wiskundige daarin veel netter zijn, en technici nalatig en slordig zijn. Het vergeten van de integratieconstante geeft een punt aftrek op een toets op de opleiding werktuigbouwkunde. Te veel studenten halen hun schouders op en zeggen tegen zichzelf: "tsss... ik heb het prima opgelost, wat een gezeik." Het is deze instelling die ook zorgt voor het verwisselen van een -/+ teken e.d. Met alle gevolgen van dien.
Iedereen heeft hier wel kennissen gezien (die zelden met getallen in aanraking komen) die zoiets opschrijven: "5+2=7+2=9"
Ik kan me voorstellen dat wiskundigen die zelfde rillingen krijgen van technici, en dat is denk ik waar Professor Puntje (mede) op doelde.

[Professor Puntje]

Wat ook meespeelt is dat wis- en natuurkunde soms worden gezien als culturele verworvenheden die waarde in zichzelf hebben los van alle toepassingen. Vanuit dat gezichtspunt bezien is het nutsperspectief dat zich enkel bekommert om de vraag of iets in de praktijk werkt en/of economisch voordeel (lees: winst) oplevert een gruwel. Het zou moeten gaan om het zo goed als mogelijk vergaren van ware kennis. Ja ik weet het - dit perspectief is niet erg populair meer, maar mij spreekt het nog aan.

Over ongelukken door slordigheden van technici, daarvoor geldt inderdaad dat dit fatale gevolgen kan hebben. In zekere mate lopen ook natuurkundigen dit risico voor zover hun werk althans tot experimenten leidt dan wel toepassingen vindt. Dit stelt - in een beschaafd land - een grens aan de mate van slordigheid die men zich ongestraft kan permitteren. Verder staat men niet graag door slordigheden voor schut tegenover collega's, maar dat geldt dan weer niet voor het soort van wiskundige slordigheden die kennelijk tot de beroepspraktijk behoren.

[Marko]

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Dat is niet waar, ik snap wat je bedoelt maar het is wel verkeerd geformuleerd.

Dan was het dus kennelijk niet nodig om het correct te formuleren?